试题

题目：
青果学院如图A，B，C，D四点在同一圆周上，且BC=DC=4，AE=6，线段BE、DE的长为正整数，求BD的长．
答案
解：∵BC=CD，
∴∠BAC=∠DAC，
∵∠DBC=∠DAC，
∴∠BAC=∠DBC，
又∵∠BCE=∠ACB，
∴△ABC∽△BEC，
∴BC2=CE·AC，
∵BC=CD=4，AE=6，
∴EC=2，
由相交弦定理得，BE·DE=AE·EC，
即BE·DE=12，
又线段BE、ED为正整数，
且在△BCD中，BC+CD＞BE+DE，
所以可得BE=3、DE=4或BE=4、DE=3，
所以BD=BE+DE=7．
故答案为：7．
解：∵BC=CD，
∴∠BAC=∠DAC，
∵∠DBC=∠DAC，
∴∠BAC=∠DBC，
又∵∠BCE=∠ACB，
∴△ABC∽△BEC，
∴BC2=CE·AC，
∵BC=CD=4，AE=6，
∴EC=2，
由相交弦定理得，BE·DE=AE·EC，
即BE·DE=12，
又线段BE、ED为正整数，
且在△BCD中，BC+CD＞BE+DE，
所以可得BE=3、DE=4或BE=4、DE=3，
所以BD=BE+DE=7．
故答案为：7．
考点梳理
圆周角定理；相交弦定理；相似三角形的判定与性质．
根据已知条件，易证△ABC∽△BEC，所以BC2=CE·AC，即可求得EC=2，利用相交弦定理，可以确定BE·DE=12，又线段BE、ED为正整数，且在△BCD中，BC+CD＞BE+DE，所以可得BE=3、DE=4或BE=4、DE=3，所以BD=7．
本题结合三角形的面积考查了相交弦定理，即“圆内两弦相交于圆内一点，各弦被这点所分得的两线段的长的乘积相等”．熟记并灵活应用定理是解题的关键．
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