试题

如图，在矩形ABCD中，AB=b，AD=a，过D和B作DE⊥AC，BF⊥AC，且AE=EF，试求a与b之间的关系．

解：a与b的关系是b=

2

a，
理由是：
∵矩形ABCD，
∴AD=BC，AD∥BC，
∴∠DAC=∠BCA，
∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠AED=∠CFB=90°，
在△ADE和△CBF中

∠DAE=∠BCF ∠AED=∠CFB AD=BC

，
∴△ADE≌△CBF，
∴AE=CF，
∵AE=EF，
∴AE=EF=CF，
∵矩形ABCD，
∴∠ABC=90°=∠BFC，
∴∠BCF+∠CBF=90°，∠ABF+∠CBF=90°，
∴∠ABF=∠BCF，
∵∠AFB=∠CFB=90°，
∴△ABF∽△BCF，
∴

AB

BC

=

BF

CF

=

AF

BF

，
设AE=EF=CF=c，
则BF²=AF·CF=2c²，
∴BF=

2

c，
∵AB=b，BC=a，
∴

b

a

=

2 c

c

=

2

，
∴b=

2

a，
即a与b之间的关系是b=

2

a．
解：a与b的关系是b=

2

a，
理由是：
∵矩形ABCD，
∴AD=BC，AD∥BC，
∴∠DAC=∠BCA，
∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠AED=∠CFB=90°，
在△ADE和△CBF中

∠DAE=∠BCF ∠AED=∠CFB AD=BC

，
∴△ADE≌△CBF，
∴AE=CF，
∵AE=EF，
∴AE=EF=CF，
∵矩形ABCD，
∴∠ABC=90°=∠BFC，
∴∠BCF+∠CBF=90°，∠ABF+∠CBF=90°，
∴∠ABF=∠BCF，
∵∠AFB=∠CFB=90°，
∴△ABF∽△BCF，
∴

AB

BC

=

BF

CF

=

AF

BF

，
设AE=EF=CF=c，
则BF²=AF·CF=2c²，
∴BF=

2

c，
∵AB=b，BC=a，
∴

b

a

=

2 c

c

=

2

，
∴b=

2

a，
即a与b之间的关系是b=

2

a．