试题

已知开口向上的抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于A（-3，0）、B（1，0）两点，与y轴交于C点，∠ACB不小于90°．
（1）求点C的坐标（用含a的代数式表示）；
（2）求系数a的取值范围；
（3）设抛物线的顶点为D，求△BCD中CD边上的高h的最大值．
（4）设E(-

1

2

，0)，当∠ACB=90°，在线段AC上是否存在点F，使得直线EF将△ABC的面积平分？若存在，求出点F的坐标；若不存在，说明理由．

解：（1）∵抛物线 y=ax²+bx+c过点A（-3，0），B（1，0），
∴

0=(-3)2·a+(-3)b+c 0=a+b+c

消去b，得 c=-3a．
∴点C的坐标为（0，-3a），
答：点C的坐标为（0，-3a）．

（2）当∠ACB=90°时，
∠AOC=∠BOC=90°，∠OBC+∠BCO=90°，∠ACO+∠BCO=90°，
∴∠ACO=∠OBC，
∴△AOC∽△COB，

AO

OC

=

OC

OB

，
即 OC²=AO·OB，
∵AO=3，OB=1，
∴OC=

3

，
∵∠ACB不小于90°，
∴OC≤

3

，即-c≤

3

，
由（1）得 3a≤

3

，
∴a≤

3

3

，
又∵a＞0，
∴a的取值范围为0＜a≤

3

3

，
答：系数a的取值范围是0＜a≤

3

3

．

（3）作DG⊥y轴于点G，延长DC交x轴于点H，如图．
∵抛物线 y=ax²+bx+c交x轴于A（-3，0），B（1，0）．
∴抛物线的对称轴为x=-1．
即-

b

2a

=-1，所以b=2a．
又由（1）有c=-3a．
∴抛物线方程为 y=ax²+2ax-3a，D点坐标为（-1，-4a）．
于是 CO=3a，GC=a，DG=1．
∵DG∥OH，
∴△DCG∽△HCO，
∴

DG

OH

=

GC

CO

，即

1

OH

=

a

3a

，得 OH=3，表明直线DC过定点H（3，0）．
过B作BM⊥DH，垂足为M，即BM=h，
∴h=HB sin∠OHC=2 sin∠OHC．
∵0＜CO≤

3

，
∴0°＜∠OHC≤30°，0＜sin∠OHC≤

1

2

．
∴0＜h≤1，即h的最大值为1，
答：△BCD中CD边上的高h的最大值是1．

（4）由（1）、（2）可知，当∠ACB=90°时，a=

3

3

，CO=

3

，
设AB的中点为N，连接CN，则N（-1，0），CN将△ABC的面积平分，
连接CE，过点N作NP∥CE交y轴于P，显然点P在OC的延长线上，从而NP必与AC相交，设其交点为F，连接EF，
因为NP∥CE，所以S_△CEF=S_△CEN，
由已知可得NO=1，EO=

1

2

，而NP∥CE，
∴PO=2CO=2

3

，得 P(0，-2

3

)，
设过N、P两点的一次函数是y=kx+b，则

0=-k+b -2 3 =b

，
解得：k=b=-2

3

，
即 y=-2

3

(x+1)，①
同理可得过A、C两点的一次函数为 x+

3

y+3=0，②
解由①②组成的方程组得x=-

3

5

，y=-

4 3

5

，
故在线段AC上存在点F(-

3

5

，-

4 3

5

)满足要求．
答：当∠ACB=90°，在线段AC上存在点F，使得直线EF将△ABC的面积平分，点F的坐标是（-

3

5

，-

4 3

5

）．
解：（1）∵抛物线 y=ax²+bx+c过点A（-3，0），B（1，0），
∴

0=(-3)2·a+(-3)b+c 0=a+b+c

消去b，得 c=-3a．
∴点C的坐标为（0，-3a），
答：点C的坐标为（0，-3a）．

（2）当∠ACB=90°时，
∠AOC=∠BOC=90°，∠OBC+∠BCO=90°，∠ACO+∠BCO=90°，
∴∠ACO=∠OBC，
∴△AOC∽△COB，

AO

OC

=

OC

OB

，
即 OC²=AO·OB，
∵AO=3，OB=1，
∴OC=

3

，
∵∠ACB不小于90°，
∴OC≤

3

，即-c≤

3

，
由（1）得 3a≤

3

，
∴a≤

3

3

，
又∵a＞0，
∴a的取值范围为0＜a≤

3

3

，
答：系数a的取值范围是0＜a≤

3

3

．

（3）作DG⊥y轴于点G，延长DC交x轴于点H，如图．
∵抛物线 y=ax²+bx+c交x轴于A（-3，0），B（1，0）．
∴抛物线的对称轴为x=-1．
即-

b

2a

=-1，所以b=2a．
又由（1）有c=-3a．
∴抛物线方程为 y=ax²+2ax-3a，D点坐标为（-1，-4a）．
于是 CO=3a，GC=a，DG=1．
∵DG∥OH，
∴△DCG∽△HCO，
∴

DG

OH

=

GC

CO

，即

1

OH

=

a

3a

，得 OH=3，表明直线DC过定点H（3，0）．
过B作BM⊥DH，垂足为M，即BM=h，
∴h=HB sin∠OHC=2 sin∠OHC．
∵0＜CO≤

3

，
∴0°＜∠OHC≤30°，0＜sin∠OHC≤

1

2

．
∴0＜h≤1，即h的最大值为1，
答：△BCD中CD边上的高h的最大值是1．

（4）由（1）、（2）可知，当∠ACB=90°时，a=

3

3

，CO=

3

，
设AB的中点为N，连接CN，则N（-1，0），CN将△ABC的面积平分，
连接CE，过点N作NP∥CE交y轴于P，显然点P在OC的延长线上，从而NP必与AC相交，设其交点为F，连接EF，
因为NP∥CE，所以S_△CEF=S_△CEN，
由已知可得NO=1，EO=

1

2

，而NP∥CE，
∴PO=2CO=2

3

，得 P(0，-2

3

)，
设过N、P两点的一次函数是y=kx+b，则

0=-k+b -2 3 =b

，
解得：k=b=-2

3

，
即 y=-2

3

(x+1)，①
同理可得过A、C两点的一次函数为 x+

3

y+3=0，②
解由①②组成的方程组得x=-

3

5

，y=-

4 3

5

，
故在线段AC上存在点F(-

3

5

，-

4 3

5

)满足要求．
答：当∠ACB=90°，在线段AC上存在点F，使得直线EF将△ABC的面积平分，点F的坐标是（-

3

5

，-

4 3

5

）．