试题

如图．AD、AH分别是△ABC（其中AB＞AC）的角平分线、高线，M点是AD的中点，△MDH的外接圆交CM于E，求证∠AEB=90°．

证明：如图，连接MH，EH，
∵M是Rt△AHD斜边AD的中点，
∴MA=MH=MD，
∴∠MHD=∠MDH，
∵M，D，H，E四点共圆，
∴∠HEC=∠MDH，
∴∠MHD=∠MDH=∠HEC，
∴∠MHC=180°-∠MHD=180°-∠HEC=∠MEH，
∵∠CMH=∠HME，
∴△CMH∽△HME，
∴

MH

MC

=

ME

MH

，即MH²=ME·MC，
∴MA²=ME·MC，
又∵∠CMA=∠AME，
∴△CMA∽△AME，
∴∠MCA=∠MAE，
∴∠BHE+∠BAE=∠DHE+∠BAD+∠MAE=∠DHE+∠MAC+∠MCA=∠DHE+∠DME=180°，
∴A，B，H，E四点共圆，
∴∠AEB=∠AHB，
又∵AH⊥BH，
∴∠AHB=90°，
∴∠AEB=∠AHB=90°．
证明：如图，连接MH，EH，
∵M是Rt△AHD斜边AD的中点，
∴MA=MH=MD，
∴∠MHD=∠MDH，
∵M，D，H，E四点共圆，
∴∠HEC=∠MDH，
∴∠MHD=∠MDH=∠HEC，
∴∠MHC=180°-∠MHD=180°-∠HEC=∠MEH，
∵∠CMH=∠HME，
∴△CMH∽△HME，
∴

MH

MC

=

ME

MH

，即MH²=ME·MC，
∴MA²=ME·MC，
又∵∠CMA=∠AME，
∴△CMA∽△AME，
∴∠MCA=∠MAE，
∴∠BHE+∠BAE=∠DHE+∠BAD+∠MAE=∠DHE+∠MAC+∠MCA=∠DHE+∠DME=180°，
∴A，B，H，E四点共圆，
∴∠AEB=∠AHB，
又∵AH⊥BH，
∴∠AHB=90°，
∴∠AEB=∠AHB=90°．