试题

（2007·宝应县一模）在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，且BC=2．以CD为直径作⊙O₁交AD于点E，过点E作EF⊥AB于点F．建立如图所示的平面直角坐标系，已知A、B两点坐标分别为A（2，0），B（0，2

3

）．
（1）求C，D两点的坐标；
（2）求证：EF为⊙O₁的切线；
（3）线段CD上是否存在点P，使以点P为圆心，PD为半径的⊙P与y轴相切．如果存在，请求出P点坐标；如果不存在，请说明理由．

（1）解：连CE，如图，
∵CD为⊙O₁的直径，
∴CE⊥DE，
∵四边形ABCD是等腰梯形，BC=2，A（2，0），B（0，2

3

）．
∴DE=OA=2，
∴OD=2+2=4，
∴C点坐标为（-2，2

3

），D点坐标为（-4，0）；


（2）证明：∵DE=2，DC=AB=

(2 3 )2+22

=4，
∴∠DCE=30°，
∴∠CDE=∠A=60°，
∴△O₁DE为等边三角形，
∴∠O₁ED=60°，
而EF⊥AB，
∴∠FEA=30°，
∴∠O₁EF=90°，
∴EF为⊙O₁的切线；

（3）存在．理由如下：
设⊙P与y轴切与F，连PF，过C作CE⊥x轴与E，交PF于H，⊙P的半径为R，如图，
∴PF⊥y轴，
∴PD=PF=R，
∴PH=R-2，PC=4-R，DE=2，
易证得Rt△CPH∽Rt△CDE，
∴

PH

DE

=

CP

CD

=

CH

CE

，即

R-2

2

=

4-R

4

=

CH

2 3

，解得R=

8

3

，CH=

2 3

3

，
∴HE=2

3

-

2 3

3

=

4 3

3

，
∴P点坐标为（-

8

3

，

4 3

3

）．
（1）解：连CE，如图，
∵CD为⊙O₁的直径，
∴CE⊥DE，
∵四边形ABCD是等腰梯形，BC=2，A（2，0），B（0，2

3

）．
∴DE=OA=2，
∴OD=2+2=4，
∴C点坐标为（-2，2

3

），D点坐标为（-4，0）；


（2）证明：∵DE=2，DC=AB=

(2 3 )2+22

=4，
∴∠DCE=30°，
∴∠CDE=∠A=60°，
∴△O₁DE为等边三角形，
∴∠O₁ED=60°，
而EF⊥AB，
∴∠FEA=30°，
∴∠O₁EF=90°，
∴EF为⊙O₁的切线；

（3）存在．理由如下：
设⊙P与y轴切与F，连PF，过C作CE⊥x轴与E，交PF于H，⊙P的半径为R，如图，
∴PF⊥y轴，
∴PD=PF=R，
∴PH=R-2，PC=4-R，DE=2，
易证得Rt△CPH∽Rt△CDE，
∴

PH

DE

=

CP

CD

=

CH

CE

，即

R-2

2

=

4-R

4

=

CH

2 3

，解得R=

8

3

，CH=

2 3

3

，
∴HE=2

3

-

2 3

3

=

4 3

3

，
∴P点坐标为（-

8

3

，

4 3

3

）．