试题

题目：
青果学院如图，已知锐角△ABC的面积为1，正方形DEFG是△ABC的一个内接三角形，DG∥BC，求正方形DEFG面积的最大值．
答案
青果学院解：∵过点A作AN⊥BC交DG于点M，交BC于点N，设AN=h，DE=x=MN=DG，
∴
1
2
BC·h=1，
∵DG∥BC，
∴△ADG∽△ABC，故
DG
BC
=
AM
AN
，即
x
2
h
=
h-x
h
，
∴x=
2h
h2+2
，
设正方形的面积为S，则S=x2=（
2h
h2+2
）2=（
2
h+
2
h
）2=[
2
(
h
-
2
h
)2+2
2
]2≤（
2
2
2
）=
1
2
．
青果学院解：∵过点A作AN⊥BC交DG于点M，交BC于点N，设AN=h，DE=x=MN=DG，
∴
1
2
BC·h=1，
∵DG∥BC，
∴△ADG∽△ABC，故
DG
BC
=
AM
AN
，即
x
2
h
=
h-x
h
，
∴x=
2h
h2+2
，
设正方形的面积为S，则S=x2=（
2h
h2+2
）2=（
2
h+
2
h
）2=[
2
(
h
-
2
h
)2+2
2
]2≤（
2
2
2
）=
1
2
．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；二次函数的最值；正方形的性质．
过点A作AN⊥BC交DG于点M，交BC于点N，设AN=h，DE=x=MN=DG，根据DG∥BC，再由△ADG∽△ABC即可求出x的表达式，再代入求出三角形的面积即可．
本题考查的是相似三角形的判定与性质，根据题意构造出直角三角形是解答磁体的关键．
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