试题

题目：
青果学院如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，AC=3，将△ABC绕点C顺时针旋转90°，使A落在BC边的A1处，△A1B1C向左平移，使A1落在AB边的A2上，在整个过程中，A点移动的路程为
3
2
π+
3
4
3
2
π+
3
4
．
答案
3
2
π+
3
4

解：连A1A2，如图，青果学院
∵∠ACB=90°，AB=5，AC=3，
∴BC=
AB2-AC2
=
52-32
=4，
∵△ABC绕点C顺时针旋转90°，使A落在BC边的A1处，
∴∠ACA1=90°，CA1=CA=3，
∴弧AA1的长=
90·π·3
180
=
3
2
π，
∴BA1=BC-CA1=4-3=1，
∵A1A2∥BC，
∴△BA1A2∽△BAC，
∴A1A2：AC=BA1：BC，即A1A2：3=1：4，
∴A1A2=
3
4
，
∴在整个过程中，A点移动的路程=
3
2
π+
3
4
．
故答案为：
3
2
π+
3
4
．
考点梳理
旋转的性质；弧长的计算；平移的性质；相似三角形的判定与性质．
连A1A2，先根据勾股定理计算出BC=
AB2-AC2
=
52-32
=4，由于△ABC绕点C顺时针旋转90°，使A落在BC边的A1处，根据旋转的性质得到∠ACA1=90°，CA1=CA=3，然后利用弧长公式计算出弧AA1的长=
90·π·3
180
=
3
2
π，又根据相似三角形的判定由A1A2∥BC，可得△BA1A2∽△BAC，则A1A2：AC=BA1：BC，即A1A2：3=1：4，可得到A1A2=
3
4
，于是在整个过程中，A点移动的路程为
3
2
π+
3
4
．
本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了勾股定理、弧长公式以及相似三角形的判定与性质．
计算题；压轴题．
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