试题

在正方形ABCD中，E为AD中点，AF丄BE交BE于G，交CD于F，连CG延长交AD于H．下列结论：
①CG=CB；②

HE

BC

=

1

4

；③

EG

GF

=

1

3

；④以AB为直径的圆与CH相切于点G，其中正确的是．

解：连接OG、OC．
∵AF丄BE，
∴∠ABE=∠DAF；
在Rt△ABE和Rt△DAF中，
∵

∠ABE=∠DAF AB=DA ∠BAE=∠ADF=90°

，
∴Rt△ABE≌Rt△DAF（ASA），
∴AE=DF（全等三角形的对应边相等）；
又∵E为AD中点，
∴F为DC的中点；
∵O为AB的中点，
∴OC∥AF，
∴OC⊥BE，
∴∠BOC=∠GOC；
在△BOC和△GOC中，
∵

OB=OG ∠BOC=∠GOC OC=CO(公共边)

，
∴△BOC≌△GOC，
∴∠OBC=∠OGC=90°，即OG⊥CH，
∴以AB为直径的圆与CH相切于点G；
故④正确；
∵以AB为直径的圆与CH相切于点G，AB⊥BC，
∴CG=CB；
故①正确；
∵AD∥BC，
∴

HE

BC

=

EG

BG

=

HG

CG

；
∵CG=CB，
∴HG=HE；
又∵E为AD中点，
∴AH=HE=HG，即点H为AE的中点，
∴

HE

BC

=

1 4 AD

AD

=

1

4

；
故②正确；
∵点F是CD的中点，
∴DF=

1

2

AD；
∴AF=

5

2

AD（勾股定理）；
∵tan∠DAF=

EG

AG

=

DF

AD

=

1

2

，
∴AG=2EG，
∴AE=

5

EG=

1

2

AD，
∴EG=

5

10

AD，
∴AG=

5

5

AD，
∴FG=AF-AG=

3 5

10

AD，
∴

EG

GF

=

1

3

；
故③正确；
综上所述，正确的说法有：①②③④．
故答案是：①②③④．