如图，在边长为2的等边△ABC中，AD⊥BC，点P为边AB-青果题库-青果学院

题目：

如图，在边长为2的等边△ABC中，AD⊥BC，点P为边AB 上一个动点，过P点作PF∥AC交线段BD于点F，作PG⊥AB交AD于点E，交线段CD于点G，设BP=x．
（1）①试判断BG与2BP的大小关系，并说明理由；②用x的代数式表示线段DG的长，并写出自变量x的取值范围；
（2）记△DEF的面积为S，求S与x之间的函数关系式，并求出S的最大值；
（3）以P、E、F为顶点的三角形与△EDG是否可能相似？如果能相似，请求出BP的长，如果不能，请说明理由．

答案

（1）解：①BG=2BP，
理由是：∵等边△ABC，PG⊥AB，青果学院

∴∠B=60°，∠BPG=90°，
∴∠BGP=180°-90°-60°=30°，
∴BG=2BP，
答：BG与2BP的大小关系是BG=2BP．

②解：∵BG=2BP，BD=

1

2

BC=1，
∴DG=2x-1，
∵点G在线段CD上，
∴求G与D、C重合时x的值即可确定自变量x的取值范围，
当G与D点重合时，BG=

1

2

BC=1，∴2x-1=0，即x=

1

2

，
当G与C点重合时，DG=1，∴2x-1=1，即x=1，
故x的取值范围为

1

2

≤x≤1．

（2）解：∵AD⊥BC，GP⊥AB，
由勾股定理得：GP=

BG2-BP2

=

3

x，
∴∠ADC=∠GPB=90°，
∵∠PGB=∠PGB，
∴△EDG∽△BPG，
∴

ED

BP

=

DG

PG

，
∴

DE

x

=

2x-1

3

x

，
解得：DE=

2

3

x-

3

，
∵PF∥AC，
∴

BP

AB

=

BF

BC

，
∴BP=BF=x，
∴DF=1-x，
∴s=

1

2

DE·DF=

1

2

·（

2

3

x-

3

）·（1-x）=-

3

x²+

3

2

x-

3

6

=-

3

(x-

3

4

)2+

3

48

，
s的最大值是

3

48

，
答：S与x之间的函数关系式是∴s=-

3

x²+

3

2

x-

3

6

，并求出S的最大值是

3

48

．

（3）解：相似，
∵∠BGP=30°，∠BPF=60°，
∴∠FPE=30°，
①当∠FEP=90°时，
∴EF∥AB，
∴

DE

AD

=

DF

BD

，
∴

2

3

x-

3

=

1-x

1

，
解得：x=

4

5

，
②当∠PFE=90°时，
∵△BPF是等边三角形，
∴∠BFP=60°，
∴∠EFD=30°=∠PGD，
∴EF=EG，
∵AD⊥BC，
∴DF=DG，
即1-x=2x-1，
解得：x=

2

3

，
∴BP的长是

4

5

或

2

3

，
答：以P、E、F为顶点的三角形与△EDG相似，BP的长是

4

5

或

2

3

．
（1）解：①BG=2BP，
理由是：∵等边△ABC，PG⊥AB，青果学院