试题

题目：
如图，在△ABC中，CD是高，CE是∠ACB的平分线，若AC=15，BC=20，CD=12，求CE的长．
青果学院
答案
解：过B作BM∥AC交CE的延长线于M，
∵CD⊥AB，青果学院
∴∠ADC=∠BDC=90°，
∵AC=15，BC=20，CD=12，
由勾股定理得：AD=
152-122
=9，
BD=
202-122
=16，
∴AB=9+16=25，
∵BM∥AC，
∴△BEM∽△AEC，
∴
AC
BM
=
AE
BE
，
∵BM∥AC，
∴∠ACE=∠M，
∵CE是∠ACB的平分线，
∴∠BCE=∠ACE，
∴∠BCE=∠M，
∴BC=BM，
∴
AC
BC
=
AE
BE
，
即：
15
20
=
25-BE
BE
，
解得：BE=
100
7
，
∴DE=16-
100
7
=
12
7
，
在△CDE中由勾股定理得：CE=
122+(
12
7
)2
=
60
7
2
．
答：CE的长是
60
7
2
．
解：过B作BM∥AC交CE的延长线于M，
∵CD⊥AB，青果学院
∴∠ADC=∠BDC=90°，
∵AC=15，BC=20，CD=12，
由勾股定理得：AD=
152-122
=9，
BD=
202-122
=16，
∴AB=9+16=25，
∵BM∥AC，
∴△BEM∽△AEC，
∴
AC
BM
=
AE
BE
，
∵BM∥AC，
∴∠ACE=∠M，
∵CE是∠ACB的平分线，
∴∠BCE=∠ACE，
∴∠BCE=∠M，
∴BC=BM，
∴
AC
BC
=
AE
BE
，
即：
15
20
=
25-BE
BE
，
解得：BE=
100
7
，
∴DE=16-
100
7
=
12
7
，
在△CDE中由勾股定理得：CE=
122+(
12
7
)2
=
60
7
2
．
答：CE的长是
60
7
2
．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；三角形的角平分线、中线和高；勾股定理．
根据勾股定理求出AD和BD的长，过B作BM∥AC交CE的延长线于M，由BM∥AC，得到△BEM和△AEC相似，推出比例式，再由CE是∠ACB的平分线推出BC和BM相等，进一步求出BE长，在△CDE中根据勾股定理即可求出答案．
本题主要考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，三角形的角平分线等知识点，解此题的关键是推出
AC
BC
=
AE
BE
．题型较好，但有一定的难度．
证明题．
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