试题

题目：
青果学院如图，D为等边△ABC的BC边上一点，已知BD=1，CD=2，CH⊥AD于点H，连接BH．试证：∠BHD=60°．
答案
青果学院解：作AE⊥DC于E，
∵CH⊥AD，
∴∠DHC=∠AED=90°，
∵∠ADE=∠CDH，
∴△DAE∽△DCH，
∵等边△ABC中，BD=1，CD=2，
∴BE=
1
2
BC=
1
2
×（2+1）=1.5，
∴DE=BE-BD=0.5，
∵
DH
DE
=
DC
DA
，
∴DH×DA=DE×DC=0.5×2=1=BD2，
∴
BD
DA
=
DH
BD
，
∵∠BDH=∠ADB，
∴△BDH∽△ADB，
∴∠BHD=∠ABC=60°．
青果学院解：作AE⊥DC于E，
∵CH⊥AD，
∴∠DHC=∠AED=90°，
∵∠ADE=∠CDH，
∴△DAE∽△DCH，
∵等边△ABC中，BD=1，CD=2，
∴BE=
1
2
BC=
1
2
×（2+1）=1.5，
∴DE=BE-BD=0.5，
∵
DH
DE
=
DC
DA
，
∴DH×DA=DE×DC=0.5×2=1=BD2，
∴
BD
DA
=
DH
BD
，
∵∠BDH=∠ADB，
∴△BDH∽△ADB，
∴∠BHD=∠ABC=60°．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
首先作AE⊥DC于E，然后证得△DAE∽△DCH，又由三线合一的性质求得DE的长，即可得DH×DA=DE×DC=1=BD2，则可证得：△BDH∽△ADB，则问题得解．
此题考查了相似三角形的判定与性质．解题的关键是注意数形结合思想的应用．
证明题．
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