试题

如图，△ABC内接于⊙O，且∠ABC=∠C，点D在弧BC上运动．过点D作DE∥BC，DE交AB的延长线于点E，连接BD．
（1）求证：∠ADB=∠E；
（2）求证：AD²=AC·AE．

证明：（1）在△ABC中，
∵∠ABC=∠C，
∴AB=AC，
∵DE∥BC，
∴∠ABC=∠E，
∴∠E=∠C，
又∵∠ADB=∠C，
∴∠ADB=∠E；

（2）由（1）得∠ADB=∠E，
且∠ADB=∠C，
即可得出AB=AC，
又因为∠BAD为公共角，且AB=AC，
易得△ABD∽△ADE，
即有AB：AD=AD：AE，
即有AD²=AB·AE=AC·AE．
即证．
证明：（1）在△ABC中，
∵∠ABC=∠C，
∴AB=AC，
∵DE∥BC，
∴∠ABC=∠E，
∴∠E=∠C，
又∵∠ADB=∠C，
∴∠ADB=∠E；

（2）由（1）得∠ADB=∠E，
且∠ADB=∠C，
即可得出AB=AC，
又因为∠BAD为公共角，且AB=AC，
易得△ABD∽△ADE，
即有AB：AD=AD：AE，
即有AD²=AB·AE=AC·AE．
即证．