如图所示，n+1个直角边长为1的等腰直角三角形，斜边在同一直线上，设△B2D1C1的面积为S1，△B3D2C2的面积为S2，…，△Bn+1DnCn的面积为Sn，则S1= ，Sn=-青果题库-青果学院

题目：

（2012·金平区模拟）如图所示，n+1个直角边长为1的等腰直角三角形，斜边在同一直线上，设△B₂D₁C₁的面积为S₁，△B₃D₂C₂的面积为S₂，…，△B_n+1D_nC_n的面积为S_n，则S₁=

1

4

1

4

，S_n=

n

2(n+1)

n

2(n+1)

（用含n的式子表示）．青果学院

答案

1

4

n

2(n+1)

解：∵n+1个边长为1的等腰三角形有一条边在同一直线上，青果学院

∴S_△AB1C1=

1

2

×1×1=

1

2

，
连接B₁、B₂、B₃、B₄、B₅点，显然它们共线且平行于AC₁
∵∠B₁C₁B₂=90°
∴A₁B₁∥B₂C₁
∴△B₁C₁B₂是等腰直角三角形，且边长=1，
∴△B₁B₂D₁∽△C₁AD₁，
∴B₁D₁：D₁C₁=1：1，
∴S₁=

1

2

×

1

2

=

1

4

，
故答案为：

1

4

；
同理：B₂B₃：AC₂=1：2，
∴B₂D₂：D₂C₂=1：2，
∴S₂=

2

3

×

1

2

=

1

3

，
同理：B₃B₄：AC₃=1：3，
∴B₃D₃：D₃C₃=1：3，
∴S₃=

3

4

×

1

2

=

3

8

，
∴S₄=

4

5

×

1

2

=

2

5

，
…
∴S_n=

n

2(n+1)

故答案为：

n

2(n+1)

．

考点梳理

相似三角形的判定与性质；三角形的面积；等腰直角三角形．

试题