试题

题目：
青果学院（2012·六合区一模）如图，点A1、B1、C1分别是△ABC的三边BC、AC、AB的中点，点A2、B2、C2分别是△A1B1C1的边B1C1、A1C1、A1B1的中点，依此类推，则△AnBnCn与△ABC的面积比为
（
1
4
）n
（
1
4
）n
．
答案
（
1
4
）n

解：∵A1、B1、C1分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点，
∴A1B1、A1C1、B1C1是△ABC的中位线，
∴△A1B1C1∽△ABC，且相似比为
1
2
，
∴S△A1B1C1：S△ABC=1：4，且S△ABC=1
∴S△A1B1C1=
1
4
，
∵A2、B2、C2分别是△A1B1C1的边B1C1、C1A1、A1B1的中点，
∴△A1B1C1的∽△A2B2C2且相似比为
1
2
，
∴S△A2B2C2=
1
16
，
依此类推
∴S△A3B3C3=
1
64
，
∴S△AnBnCn=
1
22n
=（
1
4
）n．
故答案为：（
1
4
）n．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；三角形中位线定理．
由于A1、B1、C1分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点，就可以得出△A1B1C1∽△ABC，且相似比为
1
2
，就可求出S△A1B1C1=
1
4
，同样地方法得出S△A2B2C2=
1
16
…依此类推所以就可以求出S△AnBnCn的值．
本题考查了三角形中位线定理的运用，相似三角形的判定与性质的运用，解题的关键是有相似三角形的性质：面积比等于相似比的平方得到一般性规律．
规律型．
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