试题

题目：
如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，BC=3AD，CD=4AD，E、F为两腰的中点，下面给出四个青果学院结论：
①∠BCD=60°           ②∠CED=90°
③△ADE∽△EDC        ④
AE
AB
=
EF
BC

其中正确的有
①②③
①②③
（要求：把正确结论的序号都填上）．
答案
①②③

解：设AD=a，∵BC=3AD，CD=4AD，
∴BC=3a，DC=4a，
∵在直角梯形ABCD中，AD∥BC，E、F为两腰的中点，
∴AD∥EF∥BC，
∴∠EDF=∠DEF=∠ADE，∠FEC=∠FCE=∠BCE，
∴在△DEC中，∠DEC=90°，
∴△ADE∽△BEC∽△EDC，
∴AD：DE=DE：DC，
∴ED=2a，
∴∠ECF=30°，
∴∠BCD=∠EDF=60°，
∵∠DEC=90°、ED=2a、DC=4a，
∴EC=2
3
a，
∴EB=AE=
3
a，
∴AB=2
3
a，
∵EF=2a，BC=3a，
∴第④项错误．
故答案为：①②③．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；直角梯形．
为了解题方便，可以设AD为a，根据条件可知EF为中位线，所以EF=2a且EF∥AD∥BC，依据平行线的性质可以推出△ADE∽△BEC∽△EDC，依据相似三角形的性质推出ED=2a，结合CD=4d的长度，可以知道∠EDF=∠DEF=∠ADE，∠FEC=∠FCE=∠BCE，根据三角形的内角和180°，推出∠DEC=90°，∠EDF=60°，∠ECF=30°，根据勾股定理，可以求出AE、AB、EF、BC的长度，即可看出④错误．
本题主要考查了相似三角形的判定定理和性质，直角梯形的有关性质，直角三角形的相关性质，解题的关键在于根据已知条件和相关的性质定理求出各边的长度，再根据各边之间的关系解得相关角的度数．
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