试题

题目：
青果学院如图，已知AB是⊙O的直径，AC是弦，过点O作OD⊥AC于D，连接BC．
（1）求证：OD=
1
2
BC；
（2）若∠BAC=40°，求∠ABC的度数．

·············
答案
解：（1）证法一：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，OA=OB，
又∵OD⊥AC，
∴OD是△ABC的中位线，
∴AD=CD，
∴OD=
1
2
BC．
证法二：∵AB是⊙O的直径，
∴∠C=90°，OA=
1
2
AB，
∵OD⊥AC即∠ADO=90°，
∴∠C=∠ADO，
又∵∠A=∠A，
∴△ADO∽△ACB，
∴
OD
BC
=
OA
AB
=
1
2
，
∴OD=
1
2
BC；
（2）解：∵AB是⊙O的直径，∠A=40°，
∴∠C=90°，
∴∠B=50°．
解：（1）证法一：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，OA=OB，
又∵OD⊥AC，
∴OD是△ABC的中位线，
∴AD=CD，
∴OD=
1
2
BC．
证法二：∵AB是⊙O的直径，
∴∠C=90°，OA=
1
2
AB，
∵OD⊥AC即∠ADO=90°，
∴∠C=∠ADO，
又∵∠A=∠A，
∴△ADO∽△ACB，
∴
OD
BC
=
OA
AB
=
1
2
，
∴OD=
1
2
BC；
（2）解：∵AB是⊙O的直径，∠A=40°，
∴∠C=90°，
∴∠B=50°．
考点梳理
垂径定理；三角形中位线定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质．
（1）先根据圆周角定理得出∠ACB=90°，再由OD⊥AC得出OD是△ABC的中位线，由三角形中位线定理即可得出结论；
（2）先由圆周角定理得出∠ACB的度数，再根据三角形内角和定理求出∠ABC的度数即可．
本题考查的是垂径定理、圆周角定理、三角形中位线定理及三角形内角和定理，根据题意得出OD是△ABC的中位线是解答此题的关键．
几何综合题．
找相似题