试题

如图，在等腰梯形中，AC∥OB，OA=BC．以O为原点，OB所在直线为x轴建立直角坐标系xOy，已知A（2，2

2

），B（8，0）．
（1）直接写出点C的坐标；
（2）设D为OB的中点，以D为圆心，OB长为直径作⊙D，试判断点A与⊙D的位置关系；
（3）在第一象限内确定点M，使△MOB与△AOB相似，求出所有符合条件的点M的坐标．

解：（1）C（6，2

3

）；

（2）连接AD．
∵AC∥OB，即AC∥BD．
∵D是圆心
∴DB=

1

2

OB=4=AC
∴ACBD是平行四边形
∴AD=CB=AO
过A作AE⊥OB于E
在直角三角形AEO中，由勾股定理可求得AO=4
∴AD=AO=4=

1

2

OB
∴点A在⊙D上；

（3）∵点A在⊙D上，OB为直径
∴∠OAB=90°
即△OAB是直角三角形
故符合题意的点M有以下3种情况：
①当△OM₁B与△BAO相似时（如图），则有

M1B

OB

=

AO

BO

∴M₁B=AO
∵CB=AO
∴M₁B=CB
∴点M₁与点C重合
∴此时点M₁的坐标为（6，2

3

）；
②当△OM₂B与△OBA相似时，即过B点作OB的垂线交OA的延长线于M₂（如图），
则有

M2B

OB

=

AB

AO

．
在直角三角形△OAB中，由勾股定理可求得AB=4

3

．
∴M₂B=8

3

．
∴此时点M₂的坐标为（8，8

3

）．

③当△OM₃B与△BOA相似时，即过B点作OB的垂线交OC的延长线于M₃（如图），
则有

M3B

OB

=

AO

AB

．
∴M₃B=

8 3

3

．
∴此时点M₃的坐标为（8，

8 3

3

）．
解：（1）C（6，2

3

）；

（2）连接AD．
∵AC∥OB，即AC∥BD．
∵D是圆心
∴DB=

1

2

OB=4=AC
∴ACBD是平行四边形
∴AD=CB=AO
过A作AE⊥OB于E
在直角三角形AEO中，由勾股定理可求得AO=4
∴AD=AO=4=

1

2

OB
∴点A在⊙D上；

（3）∵点A在⊙D上，OB为直径
∴∠OAB=90°
即△OAB是直角三角形
故符合题意的点M有以下3种情况：
①当△OM₁B与△BAO相似时（如图），则有

M1B

OB

=

AO

BO

∴M₁B=AO
∵CB=AO
∴M₁B=CB
∴点M₁与点C重合
∴此时点M₁的坐标为（6，2

3

）；
②当△OM₂B与△OBA相似时，即过B点作OB的垂线交OA的延长线于M₂（如图），
则有

M2B

OB

=

AB

AO

．
在直角三角形△OAB中，由勾股定理可求得AB=4

3

．
∴M₂B=8

3

．
∴此时点M₂的坐标为（8，8

3

）．

③当△OM₃B与△BOA相似时，即过B点作OB的垂线交OC的延长线于M₃（如图），
则有

M3B

OB

=

AO

AB

．
∴M₃B=

8 3

3

．
∴此时点M₃的坐标为（8，

8 3

3

）．