试题

如图，已知矩形ABCD，CN平分∠DCM，E为BC边上一点，EF⊥AE交CN于点F，以AE，EF为边作矩形AEFH．
（1）若ABCD为正方形，求证：AEFH也为正方形；
（2）若AB=8，BC=10，
①如果BE=6，求EF的长；
②设BE为x（x为正整数），EF交CD于点K，问x为何值时，BE+CK最大，并求出这个最大值．

（1）证明：在AB上截取AP=EC，连接EP，
∵∠AEF=90°，
∴∠AEB+∠FEM=90°．
∵∠BAE+∠AEB=90°，
∴∠BAE=∠FBC．
∵AP=EC，AB=BC，
∴BP=BE．
∴∠BPE=∠FCM=45°．
∴∠APE=∠ECF=135°．
∵AP=EC，
∴△APE≌△FEC，
∴AE=EF．
∴四边形AEFH也为正方形．

（2）解：①过点F作BM的垂线，垂点为Q，设CQ=x，
∵∠AEB+∠BAE=∠FEQ+∠AEB=90°，
∴∠BAE=∠FEQ．
∵∠ABE=∠FQE=90°，
∴△ABE∽△EQF．
∴

FQ

EC+CQ

=

BE

AB

．
可得

x

4+x

=

6

8

，解得x=12，CQ=FQ=12，EQ=16．
在直角三角形EFQ中，根据勾股定理可得：EF=20．

②∵∠BAE=∠FEQ，∠ABE=∠BCK=90°，
∴△ABE∽△BCK．
∴

BE

AB

=

CK

EC

．
∵BE=x，EC=BC-BE=10-x，AB=8，
∴CK=

x(10-x)

8

，
所以BE+CK=-

1

8

(x-9)2+

81

8

，
当x=9时，BE+CK最大，最大值

81

8

．
（1）证明：在AB上截取AP=EC，连接EP，
∵∠AEF=90°，
∴∠AEB+∠FEM=90°．
∵∠BAE+∠AEB=90°，
∴∠BAE=∠FBC．
∵AP=EC，AB=BC，
∴BP=BE．
∴∠BPE=∠FCM=45°．
∴∠APE=∠ECF=135°．
∵AP=EC，
∴△APE≌△FEC，
∴AE=EF．
∴四边形AEFH也为正方形．

（2）解：①过点F作BM的垂线，垂点为Q，设CQ=x，
∵∠AEB+∠BAE=∠FEQ+∠AEB=90°，
∴∠BAE=∠FEQ．
∵∠ABE=∠FQE=90°，
∴△ABE∽△EQF．
∴

FQ

EC+CQ

=

BE

AB

．
可得

x

4+x

=

6

8

，解得x=12，CQ=FQ=12，EQ=16．
在直角三角形EFQ中，根据勾股定理可得：EF=20．

②∵∠BAE=∠FEQ，∠ABE=∠BCK=90°，
∴△ABE∽△BCK．
∴

BE

AB

=

CK

EC

．
∵BE=x，EC=BC-BE=10-x，AB=8，
∴CK=

x(10-x)

8

，
所以BE+CK=-

1

8

(x-9)2+

81

8

，
当x=9时，BE+CK最大，最大值

81

8

．