试题

如图，抛物线C₁：y=ax²+bx+1的顶点坐标为D（1，0），
（1）求抛物线C₁的解析式；
（2）如图1，将抛物线C₁向右平移1个单位，向下平移1个单位得到抛物线C₂，直线y=x+c，经过点D交y轴于点A，交抛物线C₂于点B，抛物线C₂的顶点为P，求△DBP的面积
（3）如图2，连接AP，过点B作BC⊥AP于C，设点Q为抛物线上点P至点B之间的一动点，连接PQ并延长交BC于点E，连接BQ并延长交AC于点F，试证明：FC（AC+EC）为定值．

（1）解：∵抛物线顶点为D（1，0），经过点（0，1）
∴可设抛物线的解析式为：y=a（x-1）²，将点（0，1）代入，得a=1，
∴抛物线的解析式为y=x²-2x+1；
（2）解：根据题意，平移后顶点坐标P（2，-1）
∴抛物线的解析式为：y=（x-2）²-1，
∴A（0，-1），B（4，3），
∴S_△DBP=3；
（3）证明：过点Q作QM⊥AC于点M，过点Q作QN⊥BC于点N，
设点Q的坐标是（t，t²-4t+3），则QM=CN=（t-2）²，MC=QN=4-t．
∵QM∥CE，
∴△PQM∽△PEC，
∴

QM

EC

=

PM

PC

，
即

(t-2)2

EC

=

t-2

2

，
得EC=2（t-2），
∵QN∥FC，
∴△BQN∽△BFC，
∴

QN

FC

=

BN

BC

，
即

4-t

FC

=

3-(t2-4t+3)

4

，
得FC=

4

t

，
又∵AC=4，
∴FC（AC+EC）=

4

t

[4+2（t-2）]=8，
即FC（AC+EC）为定值8．
（1）解：∵抛物线顶点为D（1，0），经过点（0，1）
∴可设抛物线的解析式为：y=a（x-1）²，将点（0，1）代入，得a=1，
∴抛物线的解析式为y=x²-2x+1；
（2）解：根据题意，平移后顶点坐标P（2，-1）
∴抛物线的解析式为：y=（x-2）²-1，
∴A（0，-1），B（4，3），
∴S_△DBP=3；
（3）证明：过点Q作QM⊥AC于点M，过点Q作QN⊥BC于点N，
设点Q的坐标是（t，t²-4t+3），则QM=CN=（t-2）²，MC=QN=4-t．
∵QM∥CE，
∴△PQM∽△PEC，
∴

QM

EC

=

PM

PC

，
即

(t-2)2

EC

=

t-2

2

，
得EC=2（t-2），
∵QN∥FC，
∴△BQN∽△BFC，
∴

QN

FC

=

BN

BC

，
即

4-t

FC

=

3-(t2-4t+3)

4

，
得FC=

4

t

，
又∵AC=4，
∴FC（AC+EC）=

4

t

[4+2（t-2）]=8，
即FC（AC+EC）为定值8．