试题

如图，在平面直角坐标系内，四边形AOBC是菱形，点B的坐标是（4，0），∠AOB=60°，点P从点A开始沿AC以每秒1个单位长度向点C移动，同时点Q从点O以每秒a（1≤a≤3）个单位长度的速度沿OB向右移动，设t秒后，PQ交OC于点R．
（1）设a=2，t为何值时，四边形APQO的面积是菱形AOBC面积的

1

4

；
（2）设a=2，OR=

8 3

5

，求t的值及此时经过P、Q两点的直线解析式；
（3）当a为何值时，以O、Q、R为顶点的三角形与以O、B、C为顶点的三角形相似（只写答案，不必说理）．

解：（1）作AD⊥OB于D，
在Rt△AOD中，OA=4，∠AOD=60°，Sin60°=

AD

4

，AD=2

3

，
∵S_梯形APQO=

1

2

(AP+OQ)×AD=

1

2

(t+at)×2

3

，
∴当a=2时，S_梯形APQO=

1

2

×3t×2

3

=3

3

t．
∴由S_梯形APQO=

1

4

S_菱形AOBC=

1

4

×4×2

3

=2

3

．
∴3

3

t=2

3

∴t=

2

3

．

（2）作CH⊥x轴于H，
在Rt△CBH中，BC=OB=4，∠CBH=∠AOB=60°，
∴cos60°=

BH

BC

．
∴BH=4×

1

2

=2，sin60°=

CH

BC

．
∴CH=4×

3

2

=2

3

．
在Rt△OCH中，由勾股定理得，OC=4

3

，
∵AC∥OB，得△OQR∽△CPR，
∴

OQ

PC

=

OR

RC

．
另一方面，
当a=2时，OQ=at=2t，PC=4-t，RC=OC-OR=4

3

-

8 3

5

=

12 3

5

，
∴

2t

4-t

=

8 3 5

12 3 5

，
∴t=1，解得P（3，2

3

），Q（2，0）．
∴解析式为y=2

3

x-4

3

．

（3）当a=1时，△ORQ∽△OBC，理由如下：
∵AC∥OB，得△OQR∽△CPR，得

OR

4 3 -OR

=

at

6-(2+t)

，
∴OR=

4 3 at

4-t+at

．
∴当

OR

OC

=

OQ

OB

，∠ROQ=∠COB得△OQR∽△OBC．
此时，

OR

OC

=

OQ

OB

得

4 3 at 4-t+at

4 3

=

at

4

，
所以at-t=0，t（a-1）=0，
∴t=0（舍去）．
∵a-1=0，
∴a=1．
当

OR

OB

=

OQ

OC

，∠ROQ=∠COB得△OQR∽△OCB．
即

4 3 at 4-t+at

4

=

at

4 3

，
解得：at-t=8，
a=1+

8

t

．
解：（1）作AD⊥OB于D，
在Rt△AOD中，OA=4，∠AOD=60°，Sin60°=

AD

4

，AD=2

3

，
∵S_梯形APQO=

1

2

(AP+OQ)×AD=

1

2

(t+at)×2

3

，
∴当a=2时，S_梯形APQO=

1

2

×3t×2

3

=3

3

t．
∴由S_梯形APQO=

1

4

S_菱形AOBC=

1

4

×4×2

3

=2

3

．
∴3

3

t=2

3

∴t=

2

3

．

（2）作CH⊥x轴于H，
在Rt△CBH中，BC=OB=4，∠CBH=∠AOB=60°，
∴cos60°=

BH

BC

．
∴BH=4×

1

2

=2，sin60°=

CH

BC

．
∴CH=4×

3

2

=2

3

．
在Rt△OCH中，由勾股定理得，OC=4

3

，
∵AC∥OB，得△OQR∽△CPR，
∴

OQ

PC

=

OR

RC

．
另一方面，
当a=2时，OQ=at=2t，PC=4-t，RC=OC-OR=4

3

-

8 3

5

=

12 3

5

，
∴

2t

4-t

=

8 3 5

12 3 5

，
∴t=1，解得P（3，2

3

），Q（2，0）．
∴解析式为y=2

3

x-4

3

．

（3）当a=1时，△ORQ∽△OBC，理由如下：
∵AC∥OB，得△OQR∽△CPR，得

OR

4 3 -OR

=

at

6-(2+t)

，
∴OR=

4 3 at

4-t+at

．
∴当

OR

OC

=

OQ

OB

，∠ROQ=∠COB得△OQR∽△OBC．
此时，

OR

OC

=

OQ

OB

得

4 3 at 4-t+at

4 3

=

at

4

，
所以at-t=0，t（a-1）=0，
∴t=0（舍去）．
∵a-1=0，
∴a=1．
当

OR

OB

=

OQ

OC

，∠ROQ=∠COB得△OQR∽△OCB．
即

4 3 at 4-t+at

4

=

at

4 3

，
解得：at-t=8，
a=1+

8

t

．