试题

如图，在半径为6，圆心角为90°的扇形OAB的弧AB上，有一个动点P，PH⊥OA，垂足为H，△PHO的中线PM与NH交于点G．
（1）求证：

PG

GM

=2；
（2）设PH=x，GP=y，求y关于x的函数解析式，并写自变量x的取值范围；
（3）如果△PGH是等腰三角形，试求出线段PH的长．

（1）证明：连接MN，
∵NH、PM是三角形的中线，
∴G是△OPH的重心，
∴

PG

GM

=2；

（2）解：在Rt△OPH中，
OH=

OP2-PH2

=

36-x2

，
MH=

1

2

OH=

1

2

36-x2

，
在Rt△MPH中，MP=

MH2+PH2

=

1

2

36+3x2

，
∴y=GP=

2

3

MP=

1

3

36+3x2

，（0＜x＜6）
答：y关于x的函数解析式是y=

1

3

36+3x2

，自变量x的取值范围（0＜x＜6）；

（3）解：△PGH是等腰三角形有三种可能情况：
①GP=PH，即

1

3

36+3x2

=x，
解得x=

6

，
②PH=GH，即x=2，
③GP=GH，即

1

3

36+3x2

=2，解得x=0（舍去），
综上所述，如果△PGH是等腰三角形，那么线段PH的长等于PH=GH，即

6

或2．
答：线段PH的长是

6

或2．
（1）证明：连接MN，
∵NH、PM是三角形的中线，
∴G是△OPH的重心，
∴

PG

GM

=2；

（2）解：在Rt△OPH中，
OH=

OP2-PH2

=

36-x2

，
MH=

1

2

OH=

1

2

36-x2

，
在Rt△MPH中，MP=

MH2+PH2

=

1

2

36+3x2

，
∴y=GP=

2

3

MP=

1

3

36+3x2

，（0＜x＜6）
答：y关于x的函数解析式是y=

1

3

36+3x2

，自变量x的取值范围（0＜x＜6）；

（3）解：△PGH是等腰三角形有三种可能情况：
①GP=PH，即

1

3

36+3x2

=x，
解得x=

6

，
②PH=GH，即x=2，
③GP=GH，即

1

3

36+3x2

=2，解得x=0（舍去），
综上所述，如果△PGH是等腰三角形，那么线段PH的长等于PH=GH，即

6

或2．
答：线段PH的长是

6

或2．