试题

题目：
青果学院已知：在△ABC中，BC=20，高AD=16，内接矩形EFGH的顶点E、F在BC上，G、H分别在AC、AB上，求内接矩形EFGH的最大面积．
答案
解：如图，设HG=x，PD=y，
∵四边形EFGH是矩形，
∴HG∥EF，
∴△AHG∽△ABC，
∴
AP
AD
=
HG
BC
，
∵BC=20，AD=16，
∴
16-y
16
=
x
20
，
解得y=-
4
5
x+16，
∴矩形EFGH的面积=xy=x（-
4
5
x+16）=-
4
5
（x-10）2+80，
∴当x=10，即HG=10时，内接矩形EFGH有最大面积，最大面积是80．
解：如图，设HG=x，PD=y，
∵四边形EFGH是矩形，
∴HG∥EF，
∴△AHG∽△ABC，
∴
AP
AD
=
HG
BC
，
∵BC=20，AD=16，
∴
16-y
16
=
x
20
，
解得y=-
4
5
x+16，
∴矩形EFGH的面积=xy=x（-
4
5
x+16）=-
4
5
（x-10）2+80，
∴当x=10，即HG=10时，内接矩形EFGH有最大面积，最大面积是80．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；二次函数的最值；矩形的性质．
设HG=x，PD=y，根据矩形的对边平行可得HG∥EF，然后得到△AHG与△ABC相似，根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式，用x表示出y，然后根据矩形的面积公式求解并整理，再利用二次函数的最值问题进行求解即可．
本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，二次函数的最值问题，根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式求出矩形EFGH的长与宽的关系是解题的关键．
综合题．
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