试题

为参加学校科技节比赛，小明利用如图的两块边角料木板做模型，其中一块是边长为60cm的正方形；另一块是上底为30cm，下底为120cm，高为60cm的直角梯形（如图①），小明想将这两块板子裁成两块全等的矩形板材．他将两块板子叠放在一起，使梯形的两个直角顶点分别与正方形的两个顶点重合，两块板子的重叠部分为五边形ABCFE围成的区域（如图②），由于受木板纹理的限制，要求裁出的矩形要以点B为一个顶点，且顶点B所对的顶点在EF上．
（1）求FC的长；
（2）利用图②求出矩形顶点B所对的顶点到BC边的距离x（cm）为多少时，矩形的面积最大？最大面积是多少？

解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BG，
∴△DEF∽△CGF，
∴

DF

FC

=

DE

CG

，
∴

60-FC

FC

=

30

60

，
∴FC=40（cm）

（2）如图，设矩形顶点B的对应点为P，
当顶点P在EF上时，过点P分别作PN⊥BG于点N，PM⊥AB于点M．
∵FC∥PN，
∴△GFC∽△GPN，
∴

FC

PN

=

GC

GN

，
∵BG=120，BC=60，
∴CG=BG-BC=120-60=60，
∵PN=x，则

40

x

=

60

GN

，
∴GN=

3

2

x，
∴BN=120-

3

2

x，
∴设矩形的面积y=x(120-

3

2

x)=-

3

2

(x-40)2+2400．
∴当x=40时，y的最大值为2400（cm²）
解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BG，
∴△DEF∽△CGF，
∴

DF

FC

=

DE

CG

，
∴

60-FC

FC

=

30

60

，
∴FC=40（cm）

（2）如图，设矩形顶点B的对应点为P，
当顶点P在EF上时，过点P分别作PN⊥BG于点N，PM⊥AB于点M．
∵FC∥PN，
∴△GFC∽△GPN，
∴

FC

PN

=

GC

GN

，
∵BG=120，BC=60，
∴CG=BG-BC=120-60=60，
∵PN=x，则

40

x

=

60

GN

，
∴GN=

3

2

x，
∴BN=120-

3

2

x，
∴设矩形的面积y=x(120-

3

2

x)=-

3

2

(x-40)2+2400．
∴当x=40时，y的最大值为2400（cm²）