试题

题目：
青果学院如图有一块形状是直角梯形的铁皮ABCD，它的上底AD=3cm，下底BC=8cm，垂直于底的腰CD=6cm．现在要截成一个矩形铁皮MPCN，使它的顶点M、P、N分别在AB、BC、CD上，当MN多长时，矩形MPCN的面积有最大值，并请你求出这个最大值．
答案
解：青果学院
延长BA和CD交于O，
∵AD∥BC，
∴△ODA∽△OCB，
∴
AD
BC
=
OD
OC
，
∴
3
8
=
OD
0D+6
，
OD=
18
5
，
∴OC=6+
18
5
=9.6，
∵四边形CNMP是矩形，
∴MN∥CP，
∴△ONM∽△OCB，
∴
ON
OC
=
MN
BC
，
∴
9.6-CN
9.6
=
x
8
，
∴CN=-1.2x+9.6，
∴矩形MPCN的面积S=x（-1.2x+9.6）=-1.2x2+9.6x=-1.2（x-4）2+19.2
当MN=4cm时，面积最大．最大面积为19.2cm2．
解：青果学院
延长BA和CD交于O，
∵AD∥BC，
∴△ODA∽△OCB，
∴
AD
BC
=
OD
OC
，
∴
3
8
=
OD
0D+6
，
OD=
18
5
，
∴OC=6+
18
5
=9.6，
∵四边形CNMP是矩形，
∴MN∥CP，
∴△ONM∽△OCB，
∴
ON
OC
=
MN
BC
，
∴
9.6-CN
9.6
=
x
8
，
∴CN=-1.2x+9.6，
∴矩形MPCN的面积S=x（-1.2x+9.6）=-1.2x2+9.6x=-1.2（x-4）2+19.2
当MN=4cm时，面积最大．最大面积为19.2cm2．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；二次函数的最值；直角梯形．
延长BA和CD交于O，证△ODA∽△OCB，得出
AD
BC
=
OD
OC
，求出OD=
18
5
，OC=9.6，证△ONM∽△OCB，求出CN=-1.2x+9.6，根据矩形MPCN的面积S=x（-1.2x+9.6）=-1.2（x-4）2+19.2，即可得出答案．
本题考查了二次函数的最值，矩形性质，相似三角形的性质和判定的应用，主要考查学生综合运用性质进行计算的能力．
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