试题

题目：
如图，在RT△ABC中，∠C=90°，BC=8，AC=6，动点Q从B点开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，同时点P从A点开始在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C移动．当一点停止运动，另一点也随之停止运动．设点青果学院Q，P移动的时间为t秒．
（1）设△APQ的面积为S，求S与t的函数关系式；
（2）当t为何值时，△APQ与△ABC相似？
（3）在P、Q的运动过程中，△APQ能否构成等腰三角形？如能求出t，如不能，说明理由．
答案
青果学院解：（1）∵BC=8，AC=6，得AB=10，
∴AP=t，CP=6-t，BQ=2t，AQ=10-2t，
过点Q作QH⊥AC，交AC与点H，
∴△QHA∽△BCA，
∴
QH
BC
=
AQ
AB
，
∴
QH
8
=
10-2t
10
，
∴QH=8-
8
5
t，
∴S△APQ=
1
2
AP·QH=
1
2
t（8-
8
5
t）=4t-
4
5
t2；

（2）当∠APQ=90°时，△APQ∽△ABC，
AQ
AB
=
AP
AC
，
∴
10-2t
10
=
t
6
，
∴t=
30
11
；
当∠PQA=90°时，△APQ∽△ABC，
∴
AQ
AC
=
AP
AB
，
∴
10-2t
6
=
t
10
，
∴t=
50
13
，
当t为
30
11
或
50
13
时，经检验，它们都符合题意，此时△AQP∽△ABC相似；

（3）当AP=AQ时，t=10-2t，解得t=
10
3
；青果学院
当AQ=QP时，过Q作QH⊥AC，交AC于H点，
∴△QHA∽△BCA，
∴
AH
AC
=
AQ
AB
，
∴
AH
6
=
10-2t
10
，
∴AH=6-1.2t，
∴t=2（6-1.2t），
∴t=
60
17
；
当AP=QP时，过P作PM⊥AB，交AB于M点，青果学院
∴△APM∽△BCA，
∴
AM
AC
=
AP
AB
，
∴
AM
6
=
t
10
，
∴AM=
3
5
t，
∴10-2t=2×
3
5
t，
解得：t=
25
8
；
当t=
10
3
或
60
17
或
25
8
时，△APQ能构成等腰三角形．
青果学院解：（1）∵BC=8，AC=6，得AB=10，
∴AP=t，CP=6-t，BQ=2t，AQ=10-2t，
过点Q作QH⊥AC，交AC与点H，
∴△QHA∽△BCA，
∴
QH
BC
=
AQ
AB
，
∴
QH
8
=
10-2t
10
，
∴QH=8-
8
5
t，
∴S△APQ=
1
2
AP·QH=
1
2
t（8-
8
5
t）=4t-
4
5
t2；

（2）当∠APQ=90°时，△APQ∽△ABC，
AQ
AB
=
AP
AC
，
∴
10-2t
10
=
t
6
，
∴t=
30
11
；
当∠PQA=90°时，△APQ∽△ABC，
∴
AQ
AC
=
AP
AB
，
∴
10-2t
6
=
t
10
，
∴t=
50
13
，
当t为
30
11
或
50
13
时，经检验，它们都符合题意，此时△AQP∽△ABC相似；

（3）当AP=AQ时，t=10-2t，解得t=
10
3
；青果学院
当AQ=QP时，过Q作QH⊥AC，交AC于H点，
∴△QHA∽△BCA，
∴
AH
AC
=
AQ
AB
，
∴
AH
6
=
10-2t
10
，
∴AH=6-1.2t，
∴t=2（6-1.2t），
∴t=
60
17
；
当AP=QP时，过P作PM⊥AB，交AB于M点，青果学院
∴△APM∽△BCA，
∴
AM
AC
=
AP
AB
，
∴
AM
6
=
t
10
，
∴AM=
3
5
t，
∴10-2t=2×
3
5
t，
解得：t=
25
8
；
当t=
10
3
或
60
17
或
25
8
时，△APQ能构成等腰三角形．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；等腰三角形的判定．
（1）根据已知条件求出AB的长，再过点Q作QH⊥AC，交AC与点H，的长△QHA∽△BCA，求出
QH
BC
=
AQ
AB
，即可求出QH的值，最后求S△APQ的值；
（2）先分两种情况进行讨论，当∠APQ=90°时，△APQ∽△ABC，求出t的值和当∠PQA=90°时，△APQ∽△ABC，求出t的值，经检验它们都符合题意即可；
（3）此题分三种情况进行讨论；①当AP=AQ时，得出t的值；②当AQ=QP时，先过Q作QH⊥AC，得出△QHA∽△BCA，即可求出
AH
AC
=
AQ
AB
，得出AH的值，最后求出t的值；③当AP=QP时，先过P作QM⊥AB，得出△APM∽△BCA，求出
AM
AC
=
AP
AB
，得出AM的值，即可求出t的值；
此题考查了相似三角形的判定与性质；此题运用函数的思想，列出函数表达式，再利用函数列出表达式代入数值进行求解，关键是第三步分三种情况进行讨论，不要漏掉．
压轴题．
找相似题