试题

题目：
青果学院已知⊙O的直径AB、CD互相垂直，弦AE交CD于F，若⊙O的半径为R，
求证：AE·AF=2R2．
答案
青果学院证明：连接BE，如图，
∵AB为⊙O的直径
∴∠AEB=90°
∵AB⊥CD
∴∠AOF=90°
∴∠AOF=∠AEB=90°
又∠A=∠A
∴△AOF∽△AEB
∴AE·AF=AO·AB
∵AO=R，AB=2R
所以AE·AF=2R2．
青果学院证明：连接BE，如图，
∵AB为⊙O的直径
∴∠AEB=90°
∵AB⊥CD
∴∠AOF=90°
∴∠AOF=∠AEB=90°
又∠A=∠A
∴△AOF∽△AEB
∴AE·AF=AO·AB
∵AO=R，AB=2R
所以AE·AF=2R2．
考点梳理
圆周角定理；垂径定理；相似三角形的判定与性质．
连接BE，得到∠AEB=90°，证Rt△AOF∽Rt△AEB即可．
本题考查了圆周角定理的推论：直径所对的圆周角为90度以及三角形相似的判定与性质．
证明题；压轴题．
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