试题

题目：
如图：△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，AB=10cm，点P由点C出发以每秒2cm的速度沿线段CA向点A运动（不运动到A点），⊙O的圆心在BP上，且⊙O分别与AB、AC相切，当点P运动2秒钟时，⊙O的半径是
12
7
cm
12
7
cm
．
青果学院
答案
12
7
cm

解：若右图所示，过O作OD⊥AC于D，再过O作OE⊥AB于E，
青果学院
设OD=x，DP=y，
∵OD⊥AC，
∴OP=
x2+y2
，
在Rt△ABC中，BC=
AB2-AC2
=6，
同理可得BP=
52
，
∴OB=BP-OP=
52
-
x2+y2
，
BE=10-AE=10-（4+y）=6-y，
又∵OE2+BE2=OB2，
∴x2+（6-y）2=（
52
-
x2+y2
）2，
即16-4
13
·
x2+y2
+12y=0①，
∵OD⊥AC，BC⊥AC，
∴OD∥BC，
∴△ODP∽△BCP，
∴DP：CP=OD：BC，
∴y：4=x：6，
∴y=
2
3
x②，
把②代入①，得
28
3
x=16，
∴x=
12
7
．
故答案是
12
7
cm．
考点梳理
切线的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质．
先过O作OD⊥AC于D，再过O作OE⊥AB于E，并设OD=x，DP=y，由于OD⊥AC，利用勾股定理易求OP=
x2+y2
，同理BC=
AB2-AC2
=6，BP=
52
，进而易求OB，BE，在Rt△BOE中，利用勾股定理可得x2+（6-y）2=（
52
-
x2+y2
）2，化简得16-4
13
·
x2+y2
+12y=0①，又知OD⊥AC，BC⊥AC，那么OD∥BC，根据平行线分线段成比例定理的推论
可得△ODP∽△BCP，利用比例线段易得y=
2
3
x②，然后把②代入①，解即可．
本题考查了勾股定理、切线性质、平行线的判定和性质、相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理的推论．解题的关键是作辅助线OD、OE，构造直角三角形．
动点型．
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