试题

题目：
青果学院如图，Q为正方形ABCD的CD边上一点，CQ=1，DQ=2，P为BC上一点，若PQ⊥AQ，则CP=
2
3
2
3
．
答案
2
3

解：∵PQ⊥AQ，
∴∠DQA+∠CQP=180°-90°=90°；
又∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAQ+∠DQA=90°，
∴∠CQP=∠DAQ，
∴ADQ∽△QCP，
∴
DQ
CP
=
AD
QC
；
∵CQ=1，DQ=2，
∴AD=DC=3；
∴CP=
2
3
；
故答案：
2
3
．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；正方形的性质．
证明△ADQ∽△QCP：已知的条件有∠C=∠D=90°，那么只要得出另外两组对应角相等即可得出两三角形相似，因为∠DQA+∠CQP=180°-90°=90°，而∠DAQ+∠DQA=90°，因此∠CQP=∠DAQ，那么就构成了两三角形相似的条件；然后由相似三角形的对应边成比例、正方形的四条边都相等及已知条件CQ=1，DQ=2求解即可．
本题主要考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质．在求相似比时，一定要找对相似三角形的对应边．
证明题．
找相似题