试题

题目：
青果学院如图，⊙O1和⊙O内切于点A，AB为⊙O的直径，点O1在OA上，⊙O的弦BC切⊙O1于点D，两圆的半径R=4，r=3．
（1）求BD的长；
（2）求CD的长．
答案
解：（1）连接O1D，AC，
∵BD切圆O1于D，
∴∠BDO1=90°，
由勾股定理得：O1D2+BD2=BO12，
即32+BD2=（2×4-3）2，
解得：BD=4．
答：BD的长是4．

（2）∵AB是直径，青果学院
∴∠ACB=90°=∠O1DB，
∵∠B=∠B，
∴△BDO1∽△BCA，
∴
BD
BC
=
BO1
AB
，
即
4
BC
=
5
8
，
∴BC=
32
5
，
∴CD=
32
5
-4=
12
5
．
答：CD的长是
12
5
．
解：（1）连接O1D，AC，
∵BD切圆O1于D，
∴∠BDO1=90°，
由勾股定理得：O1D2+BD2=BO12，
即32+BD2=（2×4-3）2，
解得：BD=4．
答：BD的长是4．

（2）∵AB是直径，青果学院
∴∠ACB=90°=∠O1DB，
∵∠B=∠B，
∴△BDO1∽△BCA，
∴
BD
BC
=
BO1
AB
，
即
4
BC
=
5
8
，
∴BC=
32
5
，
∴CD=
32
5
-4=
12
5
．
答：CD的长是
12
5
．
考点梳理
相切两圆的性质；勾股定理；圆周角定理；切线的性质；相似三角形的判定与性质．
（1）根据切线的性质求出∠BDO1=90°，根据勾股定理求出即可；
（2）求出∠ACB=90°，推出△BDO1∽△BCA，得到比例式，代入求出BC即可．
本题主要考查对相切两圆的性质，切线的性质，勾股定理，相似三角形的性质和判定，圆周角定理等知识点的理解和掌握，能求出BD和BC的长是解此题的关键．
证明题．
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