试题

如图，BC是⊙O的切线，⊙O的弦AB⊥OC于E，延长BO、CA交于点P，PB与⊙O交于点D．
（1）求证：AC是⊙O的切线．
（2）求证：2PD·BC=PA·DB．
（3）如果PA=

5

，⊙O的半径为2，设∠ABP=α，求tanα的值．

（1）证明：连接OA，
∵BC为圆O的切线，
∴OB⊥BC，
∴∠OBC=90°，
∵OA=OB，OC⊥AB，
∴∠AOC=∠BOC，
在△AOC和△BOC中，

OA=OB ∠AOC=∠BOC OC=OC

，
∴△AOC≌△BOC（SAS），
∴∠OAC=∠OBC=90°，
则AC为圆O的切线；
（2）证明：由题意得：∠PAD=∠ABO，
∵∠ABO+∠EOB=90°，∠EOB+∠OCB=90°，
∴∠ABO=∠OCB，
∵△AOC≌△BOC
∴∠OCA=∠OCB，AC=BC，
∴∠PAD=∠OCA，
∴AD∥OC，
∴

PD

OD

=

PA

AC

，即

PD

1 2 BD

=

PA

BC

，
则2PD·BC=PA·DB；
（3）∵PA为圆的切线，PBD为割线，
∴PA²=PD·PB，
又PA=

5

，⊙O的半径为2，
∴5=PD（PD+4），
∴PD=1或PD=-5（舍去），
∵2PD·BC=PA·DB，
∴BC=2

5

，
则tanα=tan∠ABP=tan∠OCB=

OB

BC

=

2

2 5

=

5

5

．
（1）证明：连接OA，
∵BC为圆O的切线，
∴OB⊥BC，
∴∠OBC=90°，
∵OA=OB，OC⊥AB，
∴∠AOC=∠BOC，
在△AOC和△BOC中，

OA=OB ∠AOC=∠BOC OC=OC

，
∴△AOC≌△BOC（SAS），
∴∠OAC=∠OBC=90°，
则AC为圆O的切线；
（2）证明：由题意得：∠PAD=∠ABO，
∵∠ABO+∠EOB=90°，∠EOB+∠OCB=90°，
∴∠ABO=∠OCB，
∵△AOC≌△BOC
∴∠OCA=∠OCB，AC=BC，
∴∠PAD=∠OCA，
∴AD∥OC，
∴

PD

OD

=

PA

AC

，即

PD

1 2 BD

=

PA

BC

，
则2PD·BC=PA·DB；
（3）∵PA为圆的切线，PBD为割线，
∴PA²=PD·PB，
又PA=

5

，⊙O的半径为2，
∴5=PD（PD+4），
∴PD=1或PD=-5（舍去），
∵2PD·BC=PA·DB，
∴BC=2

5

，
则tanα=tan∠ABP=tan∠OCB=

OB

BC

=

2

2 5

=

5

5

．