试题

如图（1），AB是⊙O的直径，直线l切⊙O于B，C、D是l上两点，AC，AD交⊙O于E、F．试问：AE·AC与AF·AD有怎样的关系？请证明你的结论．
如图（2），若将直线l向下平移，使AB⊥l，交l于G，C、D仍是l上两点，图（1）中你探索的结论是否仍然成立？请证明你的结论．

（1）证明：如图（1），连接BE、BF．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°．
又∵CD切⊙O于点B，
∴AB⊥BC，∠ABC=90°．
在Rt△AEB和Rt△ABC中，∠EAB=∠CAB，
∴Rt△AEB∽Rt△ABC．
∴AE：AB=AB：AC，
即AE·AC=AB²，
同理：Rt△AFB∽Rt△ABD，
∴AF：AB=AB：AD，
∴AF·AD=AB²，
∴AE·AC=AF·AD．

（2）解：AE·AC=AF·AD仍然成立．
证明：如图（2），连接BE，BF，
∵直线l在向下平移时始终与AB垂直，垂足为G，则∠AGC=90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∴∠AGC=∠AEB，
又∵∠GAC=∠EAB，
∴Rt△AGC∽Rt△AEB，
∴AG：AE=AC：AB，
∴AE·AC=AG·AB，
同理：AF·AD=AG·AB，
∴AE·AC=AF·AD．
（1）证明：如图（1），连接BE、BF．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°．
又∵CD切⊙O于点B，
∴AB⊥BC，∠ABC=90°．
在Rt△AEB和Rt△ABC中，∠EAB=∠CAB，
∴Rt△AEB∽Rt△ABC．
∴AE：AB=AB：AC，
即AE·AC=AB²，
同理：Rt△AFB∽Rt△ABD，
∴AF：AB=AB：AD，
∴AF·AD=AB²，
∴AE·AC=AF·AD．

（2）解：AE·AC=AF·AD仍然成立．
证明：如图（2），连接BE，BF，
∵直线l在向下平移时始终与AB垂直，垂足为G，则∠AGC=90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∴∠AGC=∠AEB，
又∵∠GAC=∠EAB，
∴Rt△AGC∽Rt△AEB，
∴AG：AE=AC：AB，
∴AE·AC=AG·AB，
同理：AF·AD=AG·AB，
∴AE·AC=AF·AD．