试题

如图，△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=3，点D在AC边上，以D为圆心的⊙D与AB相切于点E，
（1）求证：AD·BC=AB·ED；
（2）设⊙D与BC交于点F，当CF=2时，求CD的长．

（1）证明：∵∠C=90°，
E是切点，∴∠AED=90°，
又∠A是公共角，
∴△AED∽△ACB，
∴

AD

AB

=

DE

BC

，
∴AD·BC=AB·ED；

（2）解：连接DF，
由（1）得出的结论，设DE=x，则AE=2x，
根据勾股定理得：AD=

5

x，
设CD=y，则得
y=6-

5

x…①，
DF=DE=x（都是半径），
CF=2，则在直角三角形DCF中，
y=

x2-4

…②，
由①②得；
6-

5

x=

x2-4

，
36-12

5

x+5x²=x²-4，
x²-3

5

x+10=0，
（x-2

5

）（x-

5

）=0，
得x₁=2

5

，x₂=

5

，
由已知DE＜BC=3，
即x＜3，
2

5

＞3，

5

＜3，
所以x=

5

，
所以y=6-

5

×

5

=1．
答：CD的长为1．
（1）证明：∵∠C=90°，
E是切点，∴∠AED=90°，
又∠A是公共角，
∴△AED∽△ACB，
∴

AD

AB

=

DE

BC

，
∴AD·BC=AB·ED；

（2）解：连接DF，
由（1）得出的结论，设DE=x，则AE=2x，
根据勾股定理得：AD=

5

x，
设CD=y，则得
y=6-

5

x…①，
DF=DE=x（都是半径），
CF=2，则在直角三角形DCF中，
y=

x2-4

…②，
由①②得；
6-

5

x=

x2-4

，
36-12

5

x+5x²=x²-4，
x²-3

5

x+10=0，
（x-2

5

）（x-

5

）=0，
得x₁=2

5

，x₂=

5

，
由已知DE＜BC=3，
即x＜3，
2

5

＞3，

5

＜3，
所以x=

5

，
所以y=6-

5

×

5

=1．
答：CD的长为1．