试题

题目：
青果学院已知：如图，△ABC中，CA=4，点D为AC的中点，以AD为直径的⊙O切BC于点E．
（1）求CE的长；
（2）过点D作DF∥BC交⊙O于点F，求DF的长．
答案
解：（1）∵△ABC中，CA=4，点D为AC的中点，
∴AD=DC=2，
∵以AD为直径的⊙O切BC于点E，
∴OA=OD=OE=1，OE⊥BC，
∴OC=3，
∴CE=2
2
，

（2）∵DF∥BC，OE⊥BC，青果学院
∴OE⊥DF，
∴DF=2DM，
∵DF∥BC，
∴△OMD∽△OEC，
∴OD：OC=DM：CE，
∵OC=3，OD=1，CE=2
2
，
∴DM=
2
2
3
，
∴DF=2DM=
4
2
3
．
解：（1）∵△ABC中，CA=4，点D为AC的中点，
∴AD=DC=2，
∵以AD为直径的⊙O切BC于点E，
∴OA=OD=OE=1，OE⊥BC，
∴OC=3，
∴CE=2
2
，

（2）∵DF∥BC，OE⊥BC，青果学院
∴OE⊥DF，
∴DF=2DM，
∵DF∥BC，
∴△OMD∽△OEC，
∴OD：OC=DM：CE，
∵OC=3，OD=1，CE=2
2
，
∴DM=
2
2
3
，
∴DF=2DM=
4
2
3
．
考点梳理
切线的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质．
（1）由题意可推出，OE⊥BC，AD=DC=2，OA=OD=OE=1，即OC=3，根据勾股定理即可推出CE的长度，（2）根据题意，通过求证△OMD∽△OEC，然后根据对应边成比例即可推出DM的长度，最后根据垂径定理即可推出DF的长度．
本题主要考查勾股定理、切线的性质、相似三角形的判定和性质，垂径定理，关键在于熟练运用勾股定理推出CE的长度，求证△OMD∽△OEC．
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