试题

如图，四边形ABCD是平行四边形，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，过A、B两点作⊙O，AP为⊙O的切线，交DE于点P，且AE²=EF·EP．
（1）求证：∠AFE=∠B；
（2）若AB=4，AD=3

3

，AE=3，求AF的长．

（1）证明：∵AE²=EF·EP，

∴

AE

EF

=

EP

AE

，

∵∠AEF=∠PEA，
∴△EAP∽△EFA，
∴∠EAP=∠EFA，
由AE⊥BC得AB是⊙O的直径，

∵AP为⊙O的切线，

∴∠BAP=90°，

∵∠B+∠BAE=90°，∠BAE+∠EAP=90°，
∴∠EAP=∠B=∠EFA；


（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠ADF=∠CED∠B+∠C=180°，
∵∠AFE+∠AFD=180°，∠AFE=∠B，
∴∠AFD=∠C，
∴△ADF∽△DEC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，CD=AB=4，
又∵AE⊥BC，
∴AE⊥AD，
在Rt△ADE中，
DE=

AD2+AE2

=

(3 3 )2+32

=6，
∵△ADF∽△DEC，
∴

AD

DE

=

AF

CD

，
∴

3 3

6

=

AF

4

，
解得：AF=2

3

．
（1）证明：∵AE²=EF·EP，

∴

AE

EF

=

EP

AE

，

∵∠AEF=∠PEA，
∴△EAP∽△EFA，
∴∠EAP=∠EFA，
由AE⊥BC得AB是⊙O的直径，

∵AP为⊙O的切线，

∴∠BAP=90°，

∵∠B+∠BAE=90°，∠BAE+∠EAP=90°，
∴∠EAP=∠B=∠EFA；


（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠ADF=∠CED∠B+∠C=180°，
∵∠AFE+∠AFD=180°，∠AFE=∠B，
∴∠AFD=∠C，
∴△ADF∽△DEC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，CD=AB=4，
又∵AE⊥BC，
∴AE⊥AD，
在Rt△ADE中，
DE=

AD2+AE2

=

(3 3 )2+32

=6，
∵△ADF∽△DEC，
∴

AD

DE

=

AF

CD

，
∴

3 3

6

=

AF

4

，
解得：AF=2

3

．