试题

已知：如图，·ABCD中，∠DBC=45°，DE⊥BC于E，BF⊥CD于F，DE、BF相交于H，BF、AD的延长线相交于G．
求证：（1）AB=BH；
（2）AB²=GA·HE．

证明：
（1）∵·ABCD中，DE⊥BC，∠DBC=45°，
∴∠DEC=∠BEH=90°，DE=BE．
∵∠EBH+∠BHE=90°，∠DHF+∠CDE=90°，
∴∠EBH=∠EDC．
∴△BEH≌△DEC．
∴BH=DC．
∵DC=AB，
∴AB=BH．（5分）

（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AG∥BC，∠A=∠C=∠BHE．
∴∠G=∠HBE．
∴△BEH∽△GBA．
∴BH·AB=EH·AG．
∵BH=DC=AB，
∴AB²=GA·HE．（10分）
证明：
（1）∵·ABCD中，DE⊥BC，∠DBC=45°，
∴∠DEC=∠BEH=90°，DE=BE．
∵∠EBH+∠BHE=90°，∠DHF+∠CDE=90°，
∴∠EBH=∠EDC．
∴△BEH≌△DEC．
∴BH=DC．
∵DC=AB，
∴AB=BH．（5分）

（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AG∥BC，∠A=∠C=∠BHE．
∴∠G=∠HBE．
∴△BEH∽△GBA．
∴BH·AB=EH·AG．
∵BH=DC=AB，
∴AB²=GA·HE．（10分）