试题

题目：
青果学院如图，已知四边形ABCD外接⊙O的半径为5，对角线AC与BD的交点为E，且AB2=AE·AC，BD=8，则△ABD的面积为
8
8
．
答案
8

解：如图；连接OA、OB，交DB于F；
青果学院
∵AB2=AE·AC，即
AB
AC
=
AE
AB
；
又∵∠BAE=∠CAB，
∴△ABE∽△ACB；
∴∠DBA=∠BCA；
而∠BCA=∠BDA，∴∠DBA=∠BDA；
∴AB=AD，∴OA⊥BD，且F为BD的中点；
∴BF=4；
在Rt△BOF中，OB2=BF2+OF2，∴OF=3；
而OA=5，∴AF=2；
∴S△ABD=
1
2
BD×AF=8．
故答案为8．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；垂径定理；圆周角定理．
求△ABD的面积，已知了底边BD的长，因此只需求出BD边上的高即可．连接OA、OB，交DB于F；已知AB2=AE·AC，易证得△ABE∽△ACB；可得∠BCA=∠DBA，即弧AD=弧AB，根据垂径定理，可知OA垂直平分BD；易求得OF=3，则AF=2，由此可求得△ABD的面积．
本题综合考查了相似三角形的判定和性质、圆周角定理、垂径定理、勾股定理、三角形面积公式等知识，综合性强，难度稍大．
计算题．
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