试题

题目：
青果学院如图，点P是菱形ABCD的对角线BD上一点，连接CP并延长，交AD于E，交BA的延长线于点F．
（1）图中△APD与哪个三角形全等：
△CPD
△CPD
．
（2）猜想：线段PC、PE、PF之间存在什么关系：
PC2=PE·PF
PC2=PE·PF
．
答案
△CPD

PC2=PE·PF

解：（1）∵四边形ABCD为菱形，
∴∠ADP=∠CDP，DC=DA，
∴△APD≌△CPD（SAS）；

（2）∵四边形ABCD为菱形，
∴∠DCF=∠F，
∵△APD≌△CPD，
∴∠DCP=∠DAP，
∴∠F=∠PAE，
∴△PAE∽△PFA，
∴
PA
PE
=
PF
PA
，
即：PA2=PE·PF，
∵P是菱形ABCD的对角线BD上一点，
∴PA=PC，
∴PC2=PE·PF．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；菱形的性质．
（1）根据菱形的性质得∠ADP=∠CDP，DA=DC，从而得到△APD与△CPD全等．
（2）根据菱形的对边互相平行得∠DCF=∠F，再根据（1）题的结论得到∠DCP=∠DAP，从而证得△PAE∽△PFA，然后利用比例线段证得等积式即可．
本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定及相似三角形的判定及性质，是一道不错的综合题．
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