试题

题目：
青果学院如图所示，△ABC中，E、F、D分别是边AB、AC、BC上的点，且满足
AE
EB
=
AF
FC
=
1
2
，则△EFD与△ABC的面积比为
2：9
2：9
．
答案
2：9

解：设△AEF的高是h，△ABC的高是h′，
∵
AE
EB
=
AF
FC
=
1
2
，
∴
AE
AB
=
AF
AC
=
1
3
．
又∵∠A=∠A，
∴△AEF∽△ABC，
∴
h
h′
=
1
3
，
S△AEF
S△ABC
=(
AE
AB
)2=(
1
3
)2=
1
9
，
∴h′=3h，
∴△DEF的高=2h，
设△AEF的面积是s，EF=a，
∴S△ABC=9s，
∵S△DEF=
1
2
·EF·2h=ah=2s，
∴S△DEF：S△ABC=2：9．
故答案是：2：9．
考点梳理
相似三角形的判定与性质．
先设△AEF的高是h，△ABC的高是h′，由于
AE
EB
=
AF
FC
=
1
2
，根据比例性质易得
AE
AB
=
AF
AC
=
1
3
．而∠A=∠A，易证△AEF∽△ABC，从而易得h′=3h，那么△DEF的高就是2h，再设△AEF的面积是s，EF=a，由于相似三角形的面积比等于相似比的平方，那么S△AEF：S△ABC=1：9，于是S△ABC=9s，根据三角形面积公式易求S△DEF=2s，从而易求S△DEF：S△ABC的值．
本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是先证明△AEF∽△ABC，并注意相似三角形高的比等于相似比，相似三角形的面积比等于相似比的平方．
找相似题