试题

题目：
青果学院我们定义：“四个顶点都在三角形边上的正方形是三角形的内接正方形”．
已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=3．
（1）如图1，四边形CDEF是△ABC的内接正方形，则正方形CDEF的边长a1是
2
2
；
（2）如图2，四边形DGHI是（1）中△EDA的内接正方形，则第2个正方形DGHI的边长a2=
4
3
4
3
；继续在图2中的△HGA中按上述方法作第3个内接正方形；…以此类推，则第n个内接正方形的边长an=
2n
3n-1
2n
3n-1
．（n为正整数）
答案
2

4
3

2n
3n-1

解：（1）四边形CDEF是正方形，
∴EF=FC，EF∥FC，
∴△BFE∽△BCA青果学院，
∴
BF
BC
=
EF
AC
．设EF=FC=a，
∴
3-a
3
=
a
6
，
∴a=2，
故答案是：2
（2）如图（2）四边形DGHI是正方形，
∴IH=ID，IH∥AD，
∴△EIH∽△EDA，
∴
IE
DE
=
IH
AD
，设IH=ID=b，AD=4，DE=2，
∴
2-b
2
=
b
4
，
∴b=
4
3
，
故答案是：
4
3
，
如图（3）由以上同样的方法可以求得正方形PGQS的边长为：
8
9
=
23
32
，
∴第4的个正方形的边长为：
16
27
=
24
33
…
∴第n个内接正方形的边长an=
2n
3n-1

故答案为：
2n
3n-1
．
青果学院
考点梳理
相似三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质．
（1）由正方形的性质可以得出△BFE∽△BCA，再根据相似三角形的性质就可以把正方形CDEF的边长表示出来，从而得出结论．
（2）由正方形的性质可以得出△EIH∽△EDA，再根据相似三角形的性质就可以把正方形IDGF的边长表示出来，从而得出结论，通过计算得出的结论寻找其中的变化规律就可以得出第n个内接正方形的边长的值．
本题考查了正方形的性质的运用，相似三角形的判定与性质，勾股定理的运用及规律的探索．
规律型．
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