试题

题目：
青果学院如图，AB是⊙O的直径，C为AB延长线上一点，CD与⊙O相切，切点为E，AD⊥CD于点D，交⊙O于点F，若⊙O的半径为2，设BC=x，DF=y，则y关于x的函数解析式为y=
2x
x+2
2x
x+2
．
答案
2x
x+2

青果学院解：连接OE，BF，
∵CD与圆O相切，∴OE⊥CD，
∴∠OEC=90°，又AD⊥DC，
∴∠D=∠OEC=90°，由∠C为公共角，
∴△COE∽△CAD，
∴
OE
AD
=
CO
CA
，即
2
AD
=
x+2
x+4
，
∴AD=
2x+8
x+2
，
又∵AB为圆O的直径，∴∠AFB=90°，
∴∠AFB=∠OEC=∠D=90°，∴BF∥CD，
∴∠ABF=∠C，
∴△ABF∽△OCE，
∴
AF
OE
=
AB
OC
，即
AF
2
=
4
x+2
，
∴AF=
8
x+2
，
∴y=DF=AD-AF=
2x+8
x+2
-
8
x+2
=
2x
x+2
．
考点梳理
切线的性质；圆周角定理；相似三角形的判定与性质．
连接OE，BF，由CD为圆O的切线，根据切线的性质得到OE与CD垂直，又AD与DC垂直，得到一对直角相等，由角C为公共角，利用两对角对应相等的两三角形相似，得到三角形COE与三角形CAD相似，由相似得比例，表示出AD，然后再由AB为圆O的直径，根据圆周角定理得到直角，进而由同位角相等两直线平行得到BF与CD平行，再由两直线平行同位角相等得到角ABF与角C相等，得到三角形ABF与三角形OCE相似，由相似得比例，表示出AF，用表示出的AD减AF即可得到DF，即为y关于x的关系式．
此题考查了相似三角形的判断与性质，切线的性质及圆周角定理．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．在圆中遇到直径，常常构造直径所对的圆周角．
综合题．
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