试题

P为半径为R的⊙O内一点，Q为射线OP上一点，如果满足OP·OQ=R²，则称P、Q两点为⊙O互为反演点．已知：E、B两点及A、F两点分别为⊙O的互为反演点．
（1）求证：△OEF∽△OAB；
（2）△OAB中，∠O、∠A、∠B所对的边分别为c、a、b关于x的方程（a-b）x²-2cx+a+b=0有两个相等的实数根，延长FE与⊙O相交于D点，求证：BD是⊙O的切线．

解：（1）∵E、B两点及A、F两点分别为⊙O的互为反演点，
∴OE·OB=OA·OF，
∴

OE

OA

=

OF

OB

，
∵∠EOF=∠AOB，
∴△OEF∽△OAB；

（2）连接OD，
∵关于x的方程（a-b）x²-2cx+a+b=0有两个相等的实数根，
∴△=（-2c）²-4（a-b）（a+b）=0，
即c²+b²=a²，
∴∠A=90°，
∵△OEF∽△OAB，
∴∠A=∠OEF=90°，
∵OE·OB=R²，
∴

R

EO

=

BO

R

，
∵∠DOE=∠BOD，
∴△ODE∽△OBD，
∴∠ODB=∠OED=90°，
∴BD是⊙O的切线．
解：（1）∵E、B两点及A、F两点分别为⊙O的互为反演点，
∴OE·OB=OA·OF，
∴

OE

OA

=

OF

OB

，
∵∠EOF=∠AOB，
∴△OEF∽△OAB；

（2）连接OD，
∵关于x的方程（a-b）x²-2cx+a+b=0有两个相等的实数根，
∴△=（-2c）²-4（a-b）（a+b）=0，
即c²+b²=a²，
∴∠A=90°，
∵△OEF∽△OAB，
∴∠A=∠OEF=90°，
∵OE·OB=R²，
∴

R

EO

=

BO

R

，
∵∠DOE=∠BOD，
∴△ODE∽△OBD，
∴∠ODB=∠OED=90°，
∴BD是⊙O的切线．