试题

题目：
青果学院在矩形ABCD中，点E是AD的中点，EF⊥BE交CD于点F．
（1）当AB=BC时，求sin∠FBC；
（2）过F作GF⊥BF交BE的延长线于点G，求证：
DF
CD
=
EG
BE
．
答案
青果学院（1）解：∵在矩形ABCD中，AB=BC，
∴四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=CD=BC，∠A=∠D=90°，
∴∠AEB+∠ABE=90°，
∵EF⊥BE，
∴∠AEB+∠DEF=90°，
∴∠ABE=∠DEF，
∴△ABE∽△DEF，
∴AB：DE=AE：DF，
∵点E是AD的中点，
∴DE=AE=
1
2
AD=
1
2
AB，
∴DF=
1
4
AB，
∴CF=
3
4
AB，
∴BF=
BC2+CF2
=
5
4
AB，
∴sin∠FBC=
CF
BF
=
3
5
；

青果学院（2）由（1）知△ABE∽△DEF，
∴
AB
DE
=
BE
EF
=
AE
DF
．
设DE=AE=a，AB=CD=b，则AD=BC=2a．
∴
b
a
=
BE
EF
=
a
DF
，
∴DF=
a2
b
．
在△BEF与△FEG中，
∵∠BFE=∠G=90°-∠EFG，∠BEF=∠FEG=90°，
∴△BEF∽△FEG，
∴BE：FE=EF：EG，
∵
b
a
=
BE
EF
，∴可设EF=ak，则BE=bk（k≠0）．
∴EG=
EF2
BE
=
(ak)2
bk
=
a2k
b
．
∵
DF
CD
=
a2
b
b
=
a2
b2
，
EG
BE
=
a2k
b
bk
=
a2
b2
，
∴
DF
CD
=
EG
BE
．
青果学院（1）解：∵在矩形ABCD中，AB=BC，
∴四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=CD=BC，∠A=∠D=90°，
∴∠AEB+∠ABE=90°，
∵EF⊥BE，
∴∠AEB+∠DEF=90°，
∴∠ABE=∠DEF，
∴△ABE∽△DEF，
∴AB：DE=AE：DF，
∵点E是AD的中点，
∴DE=AE=
1
2
AD=
1
2
AB，
∴DF=
1
4
AB，
∴CF=
3
4
AB，
∴BF=
BC2+CF2
=
5
4
AB，
∴sin∠FBC=
CF
BF
=
3
5
；

青果学院（2）由（1）知△ABE∽△DEF，
∴
AB
DE
=
BE
EF
=
AE
DF
．
设DE=AE=a，AB=CD=b，则AD=BC=2a．
∴
b
a
=
BE
EF
=
a
DF
，
∴DF=
a2
b
．
在△BEF与△FEG中，
∵∠BFE=∠G=90°-∠EFG，∠BEF=∠FEG=90°，
∴△BEF∽△FEG，
∴BE：FE=EF：EG，
∵
b
a
=
BE
EF
，∴可设EF=ak，则BE=bk（k≠0）．
∴EG=
EF2
BE
=
(ak)2
bk
=
a2k
b
．
∵
DF
CD
=
a2
b
b
=
a2
b2
，
EG
BE
=
a2k
b
bk
=
a2
b2
，
∴
DF
CD
=
EG
BE
．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；矩形的性质；正方形的性质．
（1）先由有一组邻边相等的矩形是正方形证明出四边形ABCD是正方形，得出AB=AD=CD=BC，再根据有两个角对应相等的三角形相似得出△ABE∽△DEF，由相似三角形对应边成比例得出AB：DE=AE：DF，然后根据三角函数的定义即可求出sin∠FBC；
（2）先由△ABE∽△DEF，得出
AB
DE
=
BE
EF
=
AE
DF
．设DE=AE=a，AB=CD=b，设EF=ak，则BE=bk（k≠0），则DF=
a2
b
．再由△BEF∽△FEG，得出BE：FE=EF：EG，则可用含a、b、k的代数式表示EG，然后分别计算
DF
CD
，
EG
BE
，即可得证．
本题考查了矩形的性质，正方形与相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角函数的定义，综合性较强，难度中等，（2）中设出辅助未知数可使解题简便．
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