试题

题目：
青果学院如图，在平面直角坐标系中，点A（10，0），点C（0，6），BC∥OA，OB=10，点E从点B出发，以每秒1个单位长度沿BC向点C运动，点F从点O出发，以每秒2个单位长度沿OB向点B运动，现点E、F同时出发，连接EF并延长交OA于点D，当F点到达B点时，E、F两点同时停止运动．设运动时间为t秒
（1）当四边形ABED是平行四边形时，求t的值；
（2）当△BEF的面积最大时，求t的值；
（3）当以BE为直径的圆经过点F时，求t的值；
（4）当动点E、F会同时在某个反比例函数的图象上时，求t的值．（直接写出答案）
答案
青果学院解：（1）∵BC∥OA，
∴△EBF∽△DOF，
∴
EB
DO
=
BF
OF
，
即：
t
OD
=
10-2t
2t
，得到：OD=
t2
5-t
，
∴当四边形ABED是平行四边形时，EB=AD，
即10-
t2
5-t
=t，
∴t=
10
3
；

（2）s=
1
2
t(10-2t)
3
5
=-
3
5
(t-2.5)2+
15
4
，
∴当t=2.5时，△EBF的面积最大；

（3）当以BE为直径的圆经过点F时，则∠EFB=90°，
∵△EFB∽△OCB，
∴
t
10-2t
=
5
4
，
∴t=
25
7
；

（4）依题意有6（8-t）=（2t×
8
10
）×（2t×
6
10
），
解得t1=
-25+5
281
16
，t2=
-25-5
281
16
（负值舍去）．
青果学院解：（1）∵BC∥OA，
∴△EBF∽△DOF，
∴
EB
DO
=
BF
OF
，
即：
t
OD
=
10-2t
2t
，得到：OD=
t2
5-t
，
∴当四边形ABED是平行四边形时，EB=AD，
即10-
t2
5-t
=t，
∴t=
10
3
；

（2）s=
1
2
t(10-2t)
3
5
=-
3
5
(t-2.5)2+
15
4
，
∴当t=2.5时，△EBF的面积最大；

（3）当以BE为直径的圆经过点F时，则∠EFB=90°，
∵△EFB∽△OCB，
∴
t
10-2t
=
5
4
，
∴t=
25
7
；

（4）依题意有6（8-t）=（2t×
8
10
）×（2t×
6
10
），
解得t1=
-25+5
281
16
，t2=
-25-5
281
16
（负值舍去）．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；二次函数的最值；平行四边形的性质．
（1）因为BC∥OA，所以可判定△EBF∽△DOF，得到关于OD和运动时间t的关系式，当四边形ABED是平行四边形时EB=AD，进而求出时间t；
（2）用含有t的代数式表示出△BEF的面积，利用二次函数的性质可求出当△BEF的面积最大时，t的值；
（3）利用相似三角形对应边成比例求解即可；
（4）假设会在同一反比例函数图象上，表示出点E、F的坐标则两点的横坐标与纵坐标的积等于定值，即相等，列出方程，如果方程有解，说明会在同一函数图象上，求出方程的解就是运动的时间，如果方程无解说明不会在同一函数图象上．
本题主要考查勾相似三角形的性质和判定、平行四边形的性质和一元二次方程的解的情况，在平时的学习中需要多加练习熟练掌握．
代数几何综合题；压轴题；动点型．
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