试题

如图，在平面直角坐标系中，点C（-3，0），点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，且满足（OB-

3

）²+

OA-1

=0．
（1）求点A、B的坐标；
（2）若点P从点C出发，以每秒1个单位的速度沿射线CB运动，连接AP．设△ABP的面积为S，点P的运动时间为t秒，求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．
（3）在（2）的条件下，是否存在点P，使以点A、B、P为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，直接写出点P坐标；若不存在，说明理由．

解：（1）∵（OB-

3

）²+

OA-1

=0，
∴OB²-3=0，OA-1=0．
∴OB=

3

，OA=1，
点A，点B分别在x轴，y轴的正半轴上，
∴A（1，0），B（0，

3

）；

（2）由（1），得AC=4，
由关勾股定理得：
AB=

1 2+( 3 ) 2

=2，BC=

3 2+( 3 ) 2

=2

3

，
∴AB²+BC²=2²+（2

3

）²=16，
∵AC²=16，
∴AB²+BC²=AC²=16，
∴△ABC为直角三角形，∠ABC=90°．（4分）
设CP=t，过P作PQ⊥CA于Q，连接PA，
由△CPQ∽△CBO，
∴OB：BC=PQ：PC=1：2，
PQ=

t

2

，
∴当点P在线段CB上时，S=S_△ABC-S_△APC=

1

2

×4×

3

-

1

2

×4×

t

2

=2

3

-t（（0≤t＜2

3

），
当点P在射线CB上时，S=S_△APC-S_△ABC=

1

2

×4×

t

2

-

1

2

×4×

3

=t-2

3

（（t≥2

3

）；

（3）存在，满足条件的有四个．
P₁（-3，0），P₂（-1，

2

3

3

），P₃（3，2

3

），P₄（1，

4 3

3

）．
解：（1）∵（OB-

3

）²+

OA-1

=0，
∴OB²-3=0，OA-1=0．
∴OB=

3

，OA=1，
点A，点B分别在x轴，y轴的正半轴上，
∴A（1，0），B（0，

3

）；

（2）由（1），得AC=4，
由关勾股定理得：
AB=

1 2+( 3 ) 2

=2，BC=

3 2+( 3 ) 2

=2

3

，
∴AB²+BC²=2²+（2

3

）²=16，
∵AC²=16，
∴AB²+BC²=AC²=16，
∴△ABC为直角三角形，∠ABC=90°．（4分）
设CP=t，过P作PQ⊥CA于Q，连接PA，
由△CPQ∽△CBO，
∴OB：BC=PQ：PC=1：2，
PQ=

t

2

，
∴当点P在线段CB上时，S=S_△ABC-S_△APC=

1

2

×4×

3

-

1

2

×4×

t

2

=2

3

-t（（0≤t＜2

3

），
当点P在射线CB上时，S=S_△APC-S_△ABC=

1

2

×4×

t

2

-

1

2

×4×

3

=t-2

3

（（t≥2

3

）；

（3）存在，满足条件的有四个．
P₁（-3，0），P₂（-1，

2

3

3

），P₃（3，2

3

），P₄（1，

4 3

3

）．