试题

已知：如图，矩形ABCD中，AB=5，AD=3，E是CD上一点（不与C、D重合），连接AE，过点B作BF⊥AE，垂足为F．
（1）若DE=2，求cos∠ABF的值；
（2）设AE=x，BF=y，①求y关于x之间的函数关系式，写出自变量x的取值范围；②问当点E从D运动到C，BF的值在增大还是减小？并说明理由．
（3）当△AEB为等腰三角形时，求BF的长．

解：（1）∵BF⊥AE，
∴∠FBA+∠FAB=90°，∠AFB=90°，
∵∠D=∠AFB=90°，
∵∠DAE+∠EAB=90°，
∴∠FBA=∠EAD，
∴△ABF∽△EDA
∵DE=2，AD=3，
∴AE=

13

，
∴cos∠ABF=

BF

AB

=

AD

AE

=

3 13

13

；

（2）根据（1）可知：
①

5

x

=

y

3

即y=

15

x

，3＜x＜

34

；
②减小，因为y=

15

x

中，每个象限内，y随x的增大而减小；

（3）当△AEB为等腰三角形时，有3种情况：
a、当AB=BE时，则BE=5，则CE=

BE2-BC2

=4，∴DE═5-4=1，
∴AE=

AD2+DE2

=

10

，
∴AF=

10

2

，
∴BF=

3 10

2

；
b、当AE=BE时，E为CD中点，则DE=2.5，AE=

61

2

，
∵AD·AB=BF·AE，
∴3×5=BF×

61

2

，
∴BF=

30 61

61

；
c、当AB=AE=5时，△ABF≌△AED，则BF=AD=3．
所以BF的值为：

3 10

2

或

30 61

61

或3．
解：（1）∵BF⊥AE，
∴∠FBA+∠FAB=90°，∠AFB=90°，
∵∠D=∠AFB=90°，
∵∠DAE+∠EAB=90°，
∴∠FBA=∠EAD，
∴△ABF∽△EDA
∵DE=2，AD=3，
∴AE=

13

，
∴cos∠ABF=

BF

AB

=

AD

AE

=

3 13

13

；

（2）根据（1）可知：
①

5

x

=

y

3

即y=

15

x

，3＜x＜

34

；
②减小，因为y=

15

x

中，每个象限内，y随x的增大而减小；

（3）当△AEB为等腰三角形时，有3种情况：
a、当AB=BE时，则BE=5，则CE=

BE2-BC2

=4，∴DE═5-4=1，
∴AE=

AD2+DE2

=

10

，
∴AF=

10

2

，
∴BF=

3 10

2

；
b、当AE=BE时，E为CD中点，则DE=2.5，AE=

61

2

，
∵AD·AB=BF·AE，
∴3×5=BF×

61

2

，
∴BF=

30 61

61

；
c、当AB=AE=5时，△ABF≌△AED，则BF=AD=3．
所以BF的值为：

3 10

2

或

30 61

61

或3．