试题

题目：
如图，已知AD是△ABC的中线，M是边AC上的一动点，CM=nAM，BM交AD于N点．
（1）如图①，若n=1，则
AN
ND
=
2
2
．如图②，若n=2，则
AN
ND
=
1
1
．如图③，若n=3，则
AN
ND
=
2
3
2
3
．
（2）猜想，
AN
ND
与n存在怎样的关系？并证明你的结论．
（3）当n=
2
2
时，恰有
AN
ND
=
CM
AM
．青果学院
答案
2

1

2
3

2

解：（1）三空分别填2、1、
2
3
；

（2）取BM的中点E，连DE，根据DE∥AC，可证得△ANM∽△DNE，
∵
AN
DN
=
AM
DE
，又
CM
AM
=n，∴
2DE
AM
=n
∴
AN
DN
=
AM
DE
=
2
n


（3）∵
AN
DN
=
2
n
，CM=nAM，
∴原式可化简为：
2
n
=n，解n=
2
．
考点梳理
相似三角形的判定与性质．
（1）取BM的中点E，连接DE，根据中位线及相似三角形性质可得，
AN
DN
=
AM
DE
，由CM=nAM，DE=
1
2
CM，即可得AN：ND=2：n，代入n的值即可得解；
（2）同（1）中证明方法；
（3）由（2）可把（3）题变形为
2
n
=n时，求n的值，即可求得解．
本题主要考查相似三角形的判定及性质，并涉及到代数式求解的问题．
代数几何综合题．
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