试题

题目：
如图1，在Rt△ABC中，AB=AC=3，BD为AC边的中线，AB1⊥BD交BC于B1，B1A1⊥AC于A1．青果学院
（1）求AA1的长；
（2）如图2，在Rt△A1B1C中按上述操作，则AA2的长为
8
3
8
3
；
（3）在Rt△A2B2C中按上述操作，则AA3的长为
26
9
26
9
；
（4）一直按上述操作得到Rt△An-1Bn-1C，则AAn的长为
3n-1
3n-1
3n-1
3n-1
．
答案
8
3

26
9

3n-1
3n-1

解：（1）∵在Rt△ABC中，AB=AC=3，BD为AC边的中线，
∴AD=
3
2
．
∵在Rt△ABC中，AB1⊥BD，
∴∠A1AB1=∠ABD，
∴△A1AB1∽△ABD．
根据题意，易知△A1B1C是等腰直角三角形．
设A1A=x，则A1B1=A1C=3-x，
∴
AA1
A1B1
=
AB
AD
，
即
x
3-x
=
3
3
2
，
解得x=2．
即AA1=2．

（2）根据（1）的求解过程，得A1A2=
2
3
，
则AA2=
8
3
．

（3）根据（2）、（3）的结论，推而广之，则AAn=
3n-1
3n-1
．
考点梳理
相似三角形的判定与性质．
（1）根据等角的余角相等，得∠A1AB1=∠ABD，从而根据两角对应相等，证明△A1AB1∽△ABD．设A1A=x，则A1B1=A1C=3-x，根据相似三角形的性质即可求解．
（2）根据（1）的求解过程，易知A1A2是1的
2
3
，从而求解；
（3）、（4）根据（1）、（2）的结论，即可推而广之．
此题主要考查了相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，要求学生能够从已知的式子中找出规律．能够从特殊到一般推而广之
代数几何综合题．
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