试题

题目：
青果学院（2009·北仑区模拟）如图，ABCD为正五边形，点P为CD中点，连接BD，分别与AC、AP相交于点M、N，则
MN
BM
=
5
-1
2
5
-1
2
．
答案
5
-1
2

青果学院解：∵ABCD为正五边形，点P为CD中点，
∴∠BCA=∠BAC=36°，∠BAE=∠ABC=∠BCD=∠CDE=∠E=108°，
AP是CD的垂直平分线，
∴CN=ND，
∴∠NDC=∠NCD=36°，
∴∠BCN=∠BNC=72°，
∴∠CBN=36°，
∵∠NCM=108°-∠BCA-∠NCD=36°，
∠CNM=∠NCD+∠NDC=72°，
∴∠CMN=72°，
∴∠NCM=∠CBN，∠BCN=∠CNM，
∴△CNM∽△BCN，
MN
CN
=
CN
BN
，
设BC=1，CN=BM=CM=x，则MN=1-x，
∴
1-x
x
=
x
1
，
∴x2+x-1=0，
解得：x=
-1+
5
2
，
∴MN=1-
-1+
5
2
=
3-
5
2
，
∴则
MN
BM
=
3-
5
2
-1+
5
2
=
5
-1
2
，
故答案为：
5
-1
2
．
考点梳理
正多边形和圆；相似三角形的判定与性质．
利用正五边形的内角度数以及相似三角形的性质即可得出，MN，BM的长度，即可得出比值．
此题主要考查了正多边形的性质以及相似三角形的性质，利用正五边形性质得出△CNM∽△BCN进而求出MN，BM的长是解题关键．
探究型．
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