试题

如图，四边形OABC为正方形，点A在x轴上，点C在y轴上，点B（8，8），点P在边OC上，点M在边AB上．把四边形OAMP沿PM对折，PM为折痕，使点O落在BC边上的点Q处．动点E从点O出发，沿OA边以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，运动时间为t，同时动点F从点O出发，沿OC边以相同的速度向终点C运动，当点E到达点A时，E、F同时停止运动．
（1）若点Q为线段BC边中点，直接写出点P、点M的坐标；
（2）在（1）的条件下，设△OEF与四边形OAMP重叠面积为S，求S与t的函数关系式；
（3）在（1）的条件下，在正方形OABC边上，是否存在点H，使△PMH为等腰三角形，若存在，求出点H的坐标，若不存在，请说明理由；
（4）若点Q为线段BC上任一点（不与点B、C重合），△BNQ的周长是否发生变化，若不发生变化，求出其值，若发生变化，请说明理由．

解：（1）∵点Q为线段BC边中点，B（8，8），
∴P（0，5），M（8，1）；

（2）①当0≤t≤5时，S=

1

2

t2
     ②当5≤t≤8时，如图，设EF与PM交点为R，作RI⊥y轴，MS⊥y轴，


∵EO=FO，∴RI=FI，
又∵

RI

PI

=

SM

PS

=

8

4

=2，
∴RI=2PI，
∴FI=2PI，
∴FP=PI，RI=2PF，
∴PF=t-5，RI=2（t-5），
∴S=S_△OEF-S_△PRF，
=

1

2

t2-

1

2

(t-5)·2(t-5)，
=-

1

2

t2+10t-25；

（3）①如图作PM的中垂线交正方形的边为点H₁，H₂，


则PH₁=MH₁，PH₂=MH₂，
∴点H₁，H₂即为所求点，
设OH₁=x，∵PH₁=MH₁，
∴x²+5²=（8-x）²+1²x=

5

2

，
∴H₁（

5

2

，0），
同理，设CH₂=y，∵PH₂=MH₂，
∴3²+y²=（8-y）²+7²y=

13

2

，
∴H₂（

13

2

，8），
②当PM=PH₃时，
∵PM=

82+42

=4

5

，
∴PH3=4

5

，又∵PO=5，
∴OH3=

55

，
∴H3(

55

，0)，
③当PM=MH₄时，
∵PM=4

5

，
∴MH4=4

5

，又∵BM=7，
∴BH4=

31

，
∴H4(8-

31

，8)，
综上，一共存在四个点，H₁（

5

2

，0），H₂（

13

2

，8），H3(

55

，0)，H4(8-

31

，8)；

（4）∵∠PQN=90°，
∴∠CQP+∠BQN=90°，
又∵∠CQP+∠CPQ=90°，
∴∠CPQ=∠BQN，
又∵∠C=∠B=90°，
∴△CPQ∽△BQN，
设CQ=m，则在Rt△CPQ中，
∵m²+CP²=（8-CP）²，
∴CP=

64-m2

16

，
∴

△BQN的周长

△CPQ的周长

=

BQ

CP

=

8-m

64-m2 16

=

16

8+m

，
又∵△CPQ的周长=CP+PQ+CQ=8+m，
∴△BQN的周长=

16

8+m

×(8+m)，
=16．
∴△BQN的周长不发生变化，其值为16．
解：（1）∵点Q为线段BC边中点，B（8，8），
∴P（0，5），M（8，1）；

（2）①当0≤t≤5时，S=

1

2

t2
     ②当5≤t≤8时，如图，设EF与PM交点为R，作RI⊥y轴，MS⊥y轴，


∵EO=FO，∴RI=FI，
又∵

RI

PI

=

SM

PS

=

8

4

=2，
∴RI=2PI，
∴FI=2PI，
∴FP=PI，RI=2PF，
∴PF=t-5，RI=2（t-5），
∴S=S_△OEF-S_△PRF，
=

1

2

t2-

1

2

(t-5)·2(t-5)，
=-

1

2

t2+10t-25；

（3）①如图作PM的中垂线交正方形的边为点H₁，H₂，


则PH₁=MH₁，PH₂=MH₂，
∴点H₁，H₂即为所求点，
设OH₁=x，∵PH₁=MH₁，
∴x²+5²=（8-x）²+1²x=

5

2

，
∴H₁（

5

2

，0），
同理，设CH₂=y，∵PH₂=MH₂，
∴3²+y²=（8-y）²+7²y=

13

2

，
∴H₂（

13

2

，8），
②当PM=PH₃时，
∵PM=

82+42

=4

5

，
∴PH3=4

5

，又∵PO=5，
∴OH3=

55

，
∴H3(

55

，0)，
③当PM=MH₄时，
∵PM=4

5

，
∴MH4=4

5

，又∵BM=7，
∴BH4=

31

，
∴H4(8-

31

，8)，
综上，一共存在四个点，H₁（

5

2

，0），H₂（

13

2

，8），H3(

55

，0)，H4(8-

31

，8)；

（4）∵∠PQN=90°，
∴∠CQP+∠BQN=90°，
又∵∠CQP+∠CPQ=90°，
∴∠CPQ=∠BQN，
又∵∠C=∠B=90°，
∴△CPQ∽△BQN，
设CQ=m，则在Rt△CPQ中，
∵m²+CP²=（8-CP）²，
∴CP=

64-m2

16

，
∴

△BQN的周长

△CPQ的周长

=

BQ

CP

=

8-m

64-m2 16

=

16

8+m

，
又∵△CPQ的周长=CP+PQ+CQ=8+m，
∴△BQN的周长=

16

8+m

×(8+m)，
=16．
∴△BQN的周长不发生变化，其值为16．