试题

如图，已知等边三角形△AEC，以AC为对角线做正方形ABCD（点B在△AEC内，点D在△AEC外）．连接EB，过E作EF⊥AB，交AB的延长线为F．
（1）猜测直线BE和直线AC的位置关系，并证明你的猜想．
（2）证明：△BEF∽△ABC，并求出相似比．

解：（1）猜测BE和直线AC垂直．
证明：∵△AEC是等边三角形，
∴AE=CE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CB，
∵BE=BE，
∴△AEB≌△CEB（SSS）．
∴∠AEB=∠CEB，
∵AE=CE，
∴BE⊥AC；

（2）∵△AEC是等边三角形，
∴∠EAC=∠AEC=60°，
∵BE⊥AC，
∴∠BEA=

1

2

∠AEC=30°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAC=45°，
∴∠BAE=15°，
∴∠EBF=45°，
∵EF⊥BF，
∴∠F=90°，
∴∠EBF=∠BAC，∠F=∠ABC，
∴△BEF∽△ACB，
延长EB交AC于G，设AC为2a，则BG=a，EB=

3

a-a，
∴相似比是：

BE

AC

=

3 a-a

2a

=

( 3 -1)a

2a

=

3 -1

2

解：（1）猜测BE和直线AC垂直．
证明：∵△AEC是等边三角形，
∴AE=CE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CB，
∵BE=BE，
∴△AEB≌△CEB（SSS）．
∴∠AEB=∠CEB，
∵AE=CE，
∴BE⊥AC；

（2）∵△AEC是等边三角形，
∴∠EAC=∠AEC=60°，
∵BE⊥AC，
∴∠BEA=

1

2

∠AEC=30°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAC=45°，
∴∠BAE=15°，
∴∠EBF=45°，
∵EF⊥BF，
∴∠F=90°，
∴∠EBF=∠BAC，∠F=∠ABC，
∴△BEF∽△ACB，
延长EB交AC于G，设AC为2a，则BG=a，EB=

3

a-a，
∴相似比是：

BE

AC

=

3 a-a

2a

=

( 3 -1)a

2a

=

3 -1

2